奖惩金系统和信度模型的比较甘利民 09 精算会计这篇文章是由 Rogier C. Bouwman 在 2007 年发表的。论文主要介绍了经验费 率厘定中的两个模型即奖惩金系统和信度模型。并对这两个模型的表现形式和应 用领域进行了描述和比较。除此之外，本论文基于其中一个模型去估计另外一个 模型的参数，从而使得两个模型有类似的表现。1奖惩金系统（bonus-malus system,简称BMS系统）无赔款优待系统是对上一年无索赔记录的驾驶员在续保年度的保费给予优惠 的制度.对发生了一次或多次保险事故的投保者加收保费或给予惩罚，对没有索 赔记录的投保者进行保费优惠或奖励.BMs最早起源于20世纪50年代中期的欧 洲，后来逐渐被大多数国家采用，各国在实践中形成了符合自己国情的折扣组别 转移规则.我国从1995起根据修定的机动车辆保险条款实行BMs制度，根据 中国保监会2008年1月14日批复的关于中国保险行业协会修订机动车第三者 商业保险行业费率的批复，机动车商业保险商业三责险采取行业性基本条款， 具体分A款、B款和C款。在这三款中的无赔款优待及上年赔款记录费率调整系 数基本相同，具体见表 1。表 1：无赔款优待及上年赔款记录费率调整系数表内容连续3 年没有 发生赔 款连续2 年没有 发生赔 款上年没 有发生 赔款新保或上 年赔款次 数在3次以 下上年发 生3次 赔款上年发生4次赔款上年发 生5次及 以上赔 款系数0.70.80.91.01.11.21.3根据我国保监会公布的机动车交通事故责任强制保险费率浮动暂行办法， 2007 年 7 月 1 日起，在全国范围内统一实行机动车交通事故责任强制保险（以 下简称交强险）费率浮动与道路交通事故相联系。交强险费率浮动因素及比率如 表2所示。表 2：交强险费率浮动因素及比率浮动因素浮动比率与道路交通事 故相联系的浮 动AA1上一个年度未发生有责任道路交通事故-10%A2上两个年度未发生有责任道路父通事故-20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故-30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交 通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通 事故10%A6上一年度发生有责任道路交通死亡事故30%其中，交强险最终保险费计算方法是：交强险最终保险费=交强险基础保险费X（l+与道路交通事故相联系的浮动比率A）。显然，该系统共有六个等级，其 中 A4 对应着基准保费。目前我国机动车交强险所实施的浮动费率机制属于 BMS 系统。1.1 模型 文中举了一个包含20个等级的例子，我们在这里仅举一个包含三个等级的例 子，见表 3。表3：具有3个等级的无赔款优待系统这里假设在第 0 等级，保单支付基准保费。通常情况下，基准保费是指仅仅根 据保单所处风险单元下，各定价因素的特征确定的保费。处于第一等级的保单只 支付基准保费的 75%，在第 2 等级的保单需要支付基准保费的 60%。如果一张保 单在一年中没有索赔，则在一个年度它将下移到一个具有较大折扣的等级（或停 留在第 2 等级）。如果它提出一次索赔或多次索赔，在一年度它将上移到一个具 有较小折扣的等级（或停留在第0 等级）。我们可以得出来年需要缴纳的保费仅 取决于当前所处的等级以及当年发生的索赔数。1.2 Markov 链文中将Y ,n = 0,1,2,.定义为n时刻的状态。所以当Y = i时，就表明在时nn刻n该过程处于状态i，在本文中也就是说被保险人在时刻n处于状态i，因此PrY = jY = i,Y = i Y = i ,Y = i = Pn+1nn-1n-11100ij其中P表示处于第i等级的保单下一年转移到第j等级的概率。而i表示保单当 ij前所处等级， j 表示保单下一年所处等级。于是得出：P 0,i, j e 1,2,., sij P = 1,i e 1,2,., sijj =1其中s为BMS系统中含有的等级数。由等式（1）可知我们可以将奖惩金系 统用具有一步转移概率的Markov链来表示。令P为转移矩阵。我们将a定义 i,k 为 处 于 状 态 i 的 保 单 将 发 生 k 次 索 赔 的 概 率 ， 其 中i e 1,2,.,s,k e 0,1,2,3,4 且a := 1 a a a ai,4i ,0i ,1i ,2i.,3则P可以写出如下矩阵:(a000a00a)s ,0s,320,4a000a00as1,0s1,3s1,40a00a00as2,0s2,3s2,400a0a00as 3,0s 3, 3s3,4P =:00000001 a4,00000a001 a3,03,000000a01 a2,02,0000000a1 a1,01,0丿1.3 奖惩金系统的优缺点优点：1 采用 BMS 系统有助于改善风险的不均匀性 .2 采取 BMs 系统可以避免小额赔款的发生，从而降低了索赔成本和管理费用， 增加保险公司的竞争力.3 采用 BMs 系统可以鼓励司机安全行车，避免驾车人心理风险，对减少交通事 故、保持社会安定有促进作用.4 BMS 不会减少保险公司的客户群，对保险公司来说是有利可图的.5 BMs 系统的优点，对于精算师来说，主要是能够帮助他们更准确地评估投保 者（驾驶员）的个体风险，并且在此基础上，使得每个投保者的保费与风险大小 成正比.值得注意的是，尽管保险公司在应用 BMs 系统时有很多美好的愿望，但实际 应用的BMs系统在区分不同的风险水平的投保者方面是力不从心的.换言之，如 果投保者A的索赔频率是10%,投保者B的索赔频率是20%,那么，投保者的保 费应该是投保者A的2倍，但事实上，BMs系统只能使投保者B比投保者A多 缴很小比例的保费.缺点：虽然BMs系统简单易操作并且具有很多优点，但对BMs系统持批评态度的也 大有人在，主要有以下几方面:1 破坏了投保者的经济稳定性.投保者购买保险的初衷是通过缴纳固定的保费将 其不确定的随机风险转嫁给保险公司，但在应用BMs系统的条件下，投保者 还得承担续期保费的变异性.2 投保者之间的相互合作被削弱了.即幸运的投保者（没有发生保险事故的投保者） 对不幸的投保者在保费缴付上的帮助被减弱了.3 违背了大数定律.保险公司在计算保险费率时所依赖的是大量保单的索赔经验， 而不是个体保单的索赔经验.BMs系统通过个体保单的索赔经验调整投保者的 续期保费，显然是违背大数定律的.我们从实际例子中也可看到 BMs 系统并不能大幅度地改善投保者的非均匀 性，以至于保险公司实际上并不能收取更真实地反映单一风险的保费.大量的数 据也表明，BMs系统在区分不同风险水平的投保者方面的能力也是非常有限的， 它的作用只能是避免小额赔款，就是在鼓励安全行车方面都难见到其成效.因此，有人认为BMs系统是“有组织地摒弃保险原则”然而，瑕不掩瑜， BMs系统仍然受到投保者和保险公司的广泛欢迎，几乎所有的发达国家都在汽车 保险中实施了不同的BMs系统.2 信度模型当我们去决定一个团体或个人的保费时，通常有两个极端的选择。第一个选 择就是对每个人收取相同的保费，第二种选择就是收取一个团体或个人在过去平 均发生的赔额。在文中将 X 定义为第j类风险在第t年的索赔额，其中 j,tj = 1,2,., J,t = 1,2,.,T。X为所有相应X组成的J x T矩阵。在第一类选择中j,t每个人将被收取总平均索赔额X，而第二种选择中第j类人将被收取他们自己的平均索赔额可。在实务上很少采用这两种极端的定价方法，因为如果对每个被 j保险人都收取相同的保费，则风险更小的被保险人将选择退保，剩下的只是那些 风险更大的保单，于是保险人将支付比预期更多的索赔。而第二种选择需要每类 风险都要很多的数据，但对于单个人来说，保险公司可能拥有的数据不够。2.1 信度在信度理论中，期望索赔额用总体平均索赔额和个体平均索赔额的加权平均值 来表示即：A 卩=z X + (1 - z )Xj jj其中0 z 1称作信度因子，X和X来自于数据矩阵X ,因此为了估计出， jj我们需要去估计加权因子z。j2.2 Balanced BUhlmann 模型Bala need Buhlma nn 模型又称作 EBCT Model 1( Empirical Bayes credibility theory model 1)。对于Buhlmann模型，通常有如下的假设：1. X的分布取决于参数0，0的值确定但未知(对于所有的X相同)；jj2. X 0独立同分布j定义m(0)、S(0)如下：m(0) = E(X 0)，jS)二 Var(X 0)j这里有两点需要注意：(1)当给定0时，m(0)和S(0 )都与j无关；(2)由于0是随机变量。因此m(0 )和S(0 )也是随机变量。由给定数据X去估计m(0)m (0 )可以用如下函数的形式进行估计 a + a X + a X +. + a X ，其中吊数a ,a,a 使得0 1 1 2 2 n n 0 1 nE(m(0 ) a a X a X a X)2达到最小。0 1 1 2 2 n为了解决这个问题，可以分别对上式关于a ,a，,a求偏导，并令其导数等于0 1 n0,得到n +1个方程，从而求解这n +1个常数。在这一计算过程中，需要用到以 下三个性质：(1) E(X m(0) = Varm(0) + (Em(0)2j(2) 当j 丰 k时,E(X X ) = Varm(0) + (Em(0)2jk(3) E (X 2) = ES(0) + Varm(0) + (Em(0)2j给定数据X， m(0)的估计值为：(1 Z)Em(0 ) + ZX，X其中 X , Z =nj=1nn + ES (0) Varm(0)Em(0)，ES(0 )，Varm(0 )的估计令X为第i类风险在第j年的索赔额，其中i = 1,2,., N, j = 1,2,.,n i,j则得到如下的估计量：Em(0) n X = (Nn) -1 迓另 Xij i=1 j =1ES(0) n N-1 艺(n 1)-1 工(X X )2ij ii =1j =1Varm(0) n (N 1)-1 迓(疋X)2 (nN)-1 迓(n