1 1大题规范练(四)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分12分)ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S满足Sc2(ab)2(1)求cos C；(2)若c4，且2sin Acos Csin B，求b的长解：(1)由Sc2(ab)2(a2b2c2)2ababcos Cab，又Sabsin C，于是absin Cabcos Cab，即sin C2(1cos C)，结合sin2Ccos2C1，可得5cos2C8cos C30，解得cos C或cos C1(舍去)，故cos C.(2)由2sin Acos Csin B结合正、余弦定理，可得2ab，即(ac)(ac)0，解得ac，又c4，所以a4，由c2a2b22abcos C，得4242b224b，解得b.2(本小题满分12分)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且点O为AC中点(1)证明：A1O平面ABC；(2)求三棱锥C1ABC的体积解：(1)证明：因为AA1A1C，且O为AC中点，所以A1OAC，又平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，且A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC.(2)A1C1AC，A1C1平面ABC，AC平面ABC，A1C1平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离由(1)知A1O平面ABC且A1O，VVSABCA1O21.3(本小题满分12分)某学校高一年级共有20个班，为参加全市钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距为5将数据分组成0,5)，5,10)，30,35)，35,40，作出频率分布直方图如图所示(1)由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；(2)若会弹钢琴的人数为35,40的班级作为第一类备选班级，会弹钢琴的人数为30,35)的班级作为第二类备选班级，现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率解：(1)设各班中会弹钢琴的人数的平均值为，由频率分布直方图知，2.50.0157.50.01512.50.04517.50.02522.50.04527.50.03532.50.03537.50.02522，所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.(2)由频率分布直方图知，第一备选班级为2个，第二备选班级为3个，用ai(i1,2)表示第一备选班级，bj(j1,2,3)表示第二备选班级则从两类备选班级中选出两个班参加比赛，有a1，a2，a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，b1，b2，b1，b3，b2，b3，共10种情况其中第一备选班级和第二备选班级中均有班级被选中的情况有a1，b1，a1，b2，a1，b3，a2，b1，a2，b2，a2，b3，共6种情况所以两类备选班级中均有班级被选中的概率为.4(本小题满分12分)设椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，右顶点为A，B，C是椭圆上关于原点对称的两点(B，C均不在x轴上)，线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线(1)求椭圆E的离心率；(2)设F(1,0)，过F的直线l交E于M，N两点，直线MA，NA分别与直线x9交于P，Q两点证明：以PQ为直径的圆过点F.解：(1)解法一：由已知A(a,0)，F(c,0)，设B(x0，y0)，C(x0，y0)，则D，B，F，D三点共线，又(cx0，y0)，y0(cx0)y0，a3c，从而e.解法二：设直线BF交AC于点D，连接OD，由题意知，OD是CAB的中位线，ODAB，OFDAFB.，解得a3c，从而e.(2)证明：F的坐标为(1,0)，c1，从而a3，b28.椭圆E的方程为1.设直线l的方程为xny1，由(8n29)y216ny640，y1y2，y1y2，其中M(ny11，y1)，N(ny21，y2)直线AM的方程为，P，同理Q，从而6464640.FPFQ，即以PQ为直径的圆恒过点F.5(本小题满分12分)已知函数f(x)x2xaln x(a0)(1)若a1，求f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)f(x2).解：(1)a1时，f(x)x2xln x，f(x)x1，f(1)1，f(1)，yx1，即yx.f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程为2x2y30.(2)f(x)x1(a0)若a，x2xa0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增若0a，由x2xa0得0x或x；由x2xa0得x.f(x)在上单调递减，在和上单调递增综上，当a时，f(x)在(0，)上单调递增；当0a时，f(x)在上单调递减，在和上单调递增(3)由(2)知0a时，f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1，x2是方程x2xa0的两个根，x1x21，x1x2a.f(x1)f(x2)xx1aln x1xx2aln x2(x1x2)2x1x2(x1x2)aln(x1x2)a1aln aaln aa.令g(x)xln xx，则g(x)ln x0.g(x)在上单调递减，g(x)g.f(x1)f(x2).请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分6(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的普通方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin5，射线OM：与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解：(1)因为圆C的参数方程为(为参数)，所以圆心C的坐标为(0,2)，半径为2，圆C的普通方程为x2(y2)24.(2)将xcos ，ysin 代入x2(y2)24，得圆C的极坐标方程为4sin .设P(1，1)，则由，解得12，1.设Q(2，2)，则由，解得25，2.所以|PQ|3.7(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知f(x)|2x1|x1|.(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若ab1，对a，b(0，)，3f(x)恒成立，求x的取值范围解：(1)由已知，得f(x)函数f(x)的图象如图所示(2)a，b(0，)，且ab1，(ab)5529，当且仅当，即a，b时等号成立3(|2x1|x1|)恒成立，|2x1|x1|3，结合图象知1x5.x的取值范围是1,5