初三数学九上压轴题难题提高题培优题一 解答题(共8小题)1 如图，抛物线 y=a+bx+c (a0)经过点 A (-3, 0)、B (1, 0)、C (- 2, 1),交y轴于点M .(1) 求抛物线的表达式；(2) D为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE垂直x轴于点E,交线段AM 于点F,求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3) 抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶 点的三角形与 MAO相似(不包括全等)？若存在，求点 P的坐标；若不存在，2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx (a0)经过 点A和x轴正半轴上的点B, AO=OB=4 / AOB=120.(1) 求这条抛物线的表达式；(2) 联结OM，求/ AOM的大小；(3) 如果点C在x轴上，且 ABC与 AOM相似，求点C的坐标.3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx+c交x轴于A (2, 0), B(6, 0)两点，交y轴于点-二-.(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴与直线 y=2x交于点D,作。D与x轴相切D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；(3) P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G,试 确定P点的位置，使得 PGA的面积被直线AC分为1: 2两部分？4.如图，在平面直角坐标系中,经过点A、0、B三点.已知点 A (- 2, - 4), 0B=2 抛物线 y=af+bx+c(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 若点M是抛物线对称轴上一点，试求 AM+0M的最小值；(3) 在此抛物线上，是否存在点 P,使得以点P与点0、A、B为顶点的四边形 是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.第#页(共22页)5. 已知抛物线y=-貳+bx+c经过点A (0，1 )，B (4，3).(1) 求抛物线的函数解析式；(2) 求 tan / AB0 的值；(3) 过点B作BC丄x轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线 段AB于点N,交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标.6. 如图1,已知抛物线的方程 G： y=-L (x+2) (x- m) (m0)与x轴交于点IDB、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.(1) 若抛物线G过点M (2, 2),求实数m的值；(2) 在(1)的条件下，求 BCE的面积；(3) 在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小，求 出点H的坐标；(4) 在第四象限内，抛物线 Ci上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三 角形与 BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.7如图，已知抛物线y二x2-丄(b+1) x* (b是实数且b2)与x轴的正半444轴分别交于点A、B (点A位于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C.(1) 点B的坐标为，点C的坐标为 (用含b的代数式表示)；(2) 请你探索在第一象限内是否存在点 P,使得四边形PCOB的面积等于2b， 且厶PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P的坐标； 如果不存在，请说明理由；(3) 请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得 QCO, QOA和厶QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)？如果存在，求出点 Q8如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD的三个顶点B (1, 0)，C (3, 0)，D (3, 4).以A为顶点的抛物线y=af+bx+c过点C动点P从点A出发， 沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P, Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE AB交AC于点 E.(1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 过点E作EF丄AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时， ACG的面积最 大？最大值为多少？(3) 在动点P, Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界) 存在点H,使以C, Q, E, H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.第#页(共22页)初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一 解答题(共8小题)1 如图，抛物线 y=a+bx+c (a0)经过点 A (-3, 0)、B (1, 0)、C (- 2, 1),交y轴于点M .(1) 求抛物线的表达式；(2) D为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE垂直x轴于点E,交线段AM 于点F,求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3) 抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶 点的三角形与 MAO相似(不包括全等)？若存在，求点 P的坐标；若不存在，抛物线的表达式为y=- y-13(2)将x=0代入抛物线表达式，得y=1.点M的坐标为(0,1). 设直线MA的表达式为y=kx+b 则宵;+Slb=l直线MA的表达式为y=-x+1.设点D的坐标为(和务上叱十1),则点F的坐标为(x0, ys0+l).1 a 91DF=pR -yx0+l-(yM0 + l)一-一一当叶#时，DF的最大值为务此时一:-V !-，即点D的坐标为（3）存在点P,使得以点P、A、N为顶点的三角形与 MAO相似设P （m ,1 2 2.）在RtAMAO中，AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限.设点P在第二象限时，点P不可能在直线MN上，二只能PN=3AN,-TT-TT-：，即 m2+11m+24=0.解得 m=- 3 （舍去）或 m=- 8 .又 -3v mv0,故此时满足条件的点不存在.当点P在第三象限时，点P不可能在直线MA上，二只能PN=3AN,，即 m2+11m+24=0.解得m=- 3或m=- 8 .此时点P的坐标为（-8， - 15）.当点P在第四象限时，若AN=3PN时，贝U-1）*3即 m2+m 6=0.解得m=-3 （舍去）或m=2.当m=2时,一矍,-1-丄.此时点P的坐标为（2,若 PN=3NA 则-务4X3（昭3），即 m2- 7m- 30=0.解得m=-3 （舍去）或m=10,此时点P的坐标为（10,- 39）.综上所述，满足条件的点P的坐标为（-8,- 15）、（2 ,-丄）、（10,- 39）.2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax?+bx (a0)经过 点A和x轴正半轴上的点B, AO=OB=4 / AOB=120.(1) 求这条抛物线的表达式；(2) 联结OM，求/ AOM的大小；(3) 如果点C在x轴上，且 ABC与 AOM相似，求点C的坐标.【解答】解：(1)如图，过点A作AD丄y轴于点D，/ AO=OB=4-B (4, 0). vZ AOB=120,/ AOD=30， AD-*, ODOA=2 ；. A (- 2, 2 ；).将 A (-2,斯),B (4, 0)代入 y=af+bx,得:卅，解得这条抛物线的表达式为y= . x2-： x；(2)过点M作ME丄x轴于点)，即 OE=22- tan/ EOM輕巫OE 3/ AOM=/ AO涉/ EOM=150 .(3)过点A作AH丄x轴于点H, AH=2 二 HB=HGOB=6, tan/ ABH王二；.HB 3/ ABH=30,/ AOM=150/ OAMv 30/ OMAv 30点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧./ ABC=180-/ ABH=150,/ AOM=150 , / AOM=/ ABC. ABC与 AOM相似，有如下两种可能：厶 BAC与 OAM， BAsA OMA OD=2, ME二., OM=：3 AH=2 :；, BH=6, AB=4 A0ClilABBC导，解得BC=4当 BAC与s OAM时, 由 C (8, 0).当 BAC与s OMA时, 由鼻丄得，解得bc=12dC Ad第#页(共22页) C2 (16, 0).综上所述，如果点C在x轴上，且 ABC与厶AOM相似,3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx+c交x轴于A (2, 0), B(6, 0)两点，交y轴于点I工 .(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴与直线 y=2x交于点D,作。D与x轴相切D交y 轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；(3) P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G,试 确定P点的位置，使得 PGA的面积被直线AC分为1: 2两部分？ I-|【解答】解：(1) V抛物线y=a+bx+c经过点A (2, 0), B( 6, 0), 2庚)；r42b4c=036a+6b+c=0,解得1 c=2V5抛物线的解析式为：(2)易知抛物线的对称轴是x=4,把x=4代入y=2x,得y=8,点D的坐标为(4, 8);V D与x轴相切，二。D的半径为8; 连接DE、DF,作DM丄y轴，垂足为点 M ;在 RtAMFD 中，FD=8, MD=4, cos/ MDF; / MDF=60 , / EDF=120;劣弧EF的长为:（3）设直线AC的解析式为y=kx+b;直线 AC经过点-1,仏处，解得1_;1師直线AC的解析式为：厂 - -；设点 H： ? ,m , PG 交直线 AC 于 N,0 J则点N坐标为-L-! I :-：,T 5pna: 5gna=PN: GN;若 PN: GN=1: 2,贝U PG: GN=3: 2, PGGN;即.1.I . J ：工i-二:；解得：mi = - 3, m2=2 （舍去）;m=-3时，体令近说还埠七此时点p的坐标为（-気乎闻）;若 PN: GN=2: 1,贝U PG GN=3: 1, PG=3GN即=，_ i；-1 ;解得：mi = - 12, m2=2 （舍去）;当 m= - 12 时，卡斗/3时2=姿並;此时点P的坐标为H2? 42街）；综上所述，当点P坐标为（-3,孚/引或HZ 42昉）时， pga的面积被直线AC分成1 : 2两部分.4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（- 2, - 4）, OB=2抛物线y=af+bx+c 经过点A、0、B三点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求 AM