2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：选修系列（第5部分：矩阵与变换）一、 线性变换与二阶矩阵（一）矩阵相等的应用例已知A=，B=，若A=B，求，。思路解析：由矩阵相等的定义，知矩阵A，B对应元素相等，列出方程组后求解。解答：由矩阵相等的定义知，解得（二）二阶矩阵与平面向量乘法的应用例在平面直角坐标系xOy中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程。思路解析：由已知矩阵可得坐标变换公式，从而得到椭圆上点与曲线上F上点坐标间的关系，再代入椭圆方程即可得F的方程。解答：设是椭圆上任意一点，点P在矩阵A=的作用下的像为。A=，坐标变换公式点P在椭圆上，故，曲线F的方程为。（三）线性变换性质的应用例二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变成点（-1，-1）与（0，-2）。（1）求矩阵M；（2）设直线在变换M作用下得到了直线求直线的方程。思路解析：由已知条件下可利用待定系数法求矩阵M，再通过矩阵M对应的坐标变换公式确定直线与直线上点坐标间的关系，即可求直线的方程。解答：二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵（一）与矩阵乘法的相关问题例ABC的顶点为A（0，0），B（0，0），C（0，1）。如果将三角形先后经过和两次变换变成，求的面积。思路解析：先将两次变换转化成矩阵的乘法，再利用矩阵与向量的乘法求出变换后的点的坐标，最后用三角形的知识求面积。解答：（二）与逆矩阵（变换相关的问题）例已知矩阵A=。（1）求逆矩阵A-1；（2）若二阶矩阵X满足AX=，试求矩阵X。思路解析：利用可以求出A-1，再利用AA-1=E2，可求出二阶矩阵X。解答：（1）=-10。矩阵A是可逆的，且A-1=（2）AX=，A-1 AX= A-1，X=。（三）用矩阵知识解二元一次方程组例用矩阵知识解二元一次方程组思路解析：用二阶行列式可以表示二元一次方程组的一般解，计算出相应量后代入即可。用逆矩阵从几何变换的角度也可求解二元一次方程组。解答：二元一次方程组可化为其系数矩阵为A=该方程组的矩阵形式为A=，方程组有唯一解=A-1，A-1=代入上式得= A-1= =，原方程组的解为。三、变换的不变量与矩阵的特征向量（一）二阶矩阵的特征值、特征向量的求法例设A=，求A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。思路解析：求特征向量要先求出特征多项式及特征方程的根（特征值），再将特征值代入方程（组），求出一组非零解，即得对于相应特征值的特征向量。解答：矩阵A的特征多项式为（二）的简单表示例已知矩阵，试计算。思路解析：利用特征值和特征向量，可以方便地计算多次变换的结果，应用公式时要熟悉各个系数的意义，并分别求出代入。解答：设矩阵的特征多项式为（三）矩阵的简单应用例工业发展时常伴有环境污染，怎样减少甚至消除环境污染是很重要的问题。某研究机构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型。设P是目前的污染程度，D是目前的工业发展水平，和分别是5年以后的污染程度和工业发展水平。在许多发展中国家，工业发展模型实际上是：=P+2D，=2P+D。（1）设和分别是第二个5年以后的污染程度和工业发展水平，试求、与P、D的关系式；（2）某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是1，设第n个5年以后，污染程度和工业发展水平分别为和，试求、，并说明污染程度和工业发展的趋势。思路解析：由、表达式可以得相应的变换矩阵，再将实际问题转化成矩阵的运算。解答：（1）= P+2D，=2P+D，设A=，（2）说明污染程度和工业发展水平同时以3倍的速度发展，高水平工业能提高人们的生活水平，但处理不当，随之加重的环境污染会造成不堪设想的后果，这个结果告诫人们在发展工业的同时，一定要注意减轻污染，治理污染。