某市居民家庭人均年收入服从X 4000元,1200元的正态分布，求该市居民家庭人均年 收入：（1）在50007000元之间的概率；（2） 超过8000元的概率；（3）低于3000元的概 率。(1)Q X : N X, 2X X :N 0,1P 5000 X 70005000 XP(X X 7000 X)P(62.5)根据附表F 2.5 F 0.8321可知F 0.83 0.5935 , F 2.50.9876P 5000 X 70000.9876 0.593520.1971PS:P 5000 X 70005000 XXX 7000 XP()5 X XP(- 2.5)2.560.9938 0.7976 0.1961在附表1中)F Z P |x X|/ z10X X 8000 X 2) P X 8000 P (3)P X 3000p X X 3000 XpUP 0 X 3000p 0 X X X 3000 X10 X X=据统计70岁的老人在5年内正常死亡概率为，因事故死亡的概率为。保险公司开办 老人事故死亡保险，参加者需缴纳保险费100元。若5年内因事故死亡，公司要赔偿a元。应如何测算出a,才能使公司可期望获 益；若有1000人投保，公司可期望总获益 多少？设公司从一个投保者得到的收益为X,则X100100-aP则 E X 100 0.02a故要是公司可期望获益，则有E X 100 0.02a0, 即 a 5000PS:赔偿金应大于保险费？ 1000人投保时，公司的期望总收益为写出过原点的一元、二元线性回归模型, 并分别求出回归系数的最小二乘估计。解答：过原点的一元线性回归模型为Y XEC? 2minyi 为 对阶求导2 y 为？ x 0? 可-2Xi约束最小二乘估计：y xE C? 2min yi xi -,s.t 092L V X ?对求导得到：-2 yi xi ?0对求导得到：-2 yixi ? x 00? xyi 2X过原点的二元线性回归模型为Y X1 1 X2 2r?i ,1， 2对？,yiXii -iX2i2；分别求一阶导2yiX1i,1x1i2yiX1ilx2i2x2iX X2i yiXii X2ii2XiiX2i2X2iXiiyiXii yiXii X2i2XiiX2i2 Xii2Xii2 Xii2 x2iX2i Yi2X2i针对多元线性回归模型试证明经典线性回归模型参数 OLS古计量的 性质E ?和 Cov ?, ?2 XX i ,并说明你在证明时用到了哪些基本假定。解答：min Y Y? Y Y?无多重共线性iXX XE Y零均值Q CovE XX1X XX XiE XX XiX XX11XXXEX XX同方差，无序列相关121XXX 2IX XX2 XX为了解某国职业妇女是否受到歧视，可以用 该国统计局的“当前人口调查”中的截面数 据，研究男女工资有没有差别。这项多元回 归分析研究所用到的变量有:W雇员的工资率(美元/小时)SEX=1,若雇员为妇女0,其他ED受教育的年数AGE 年龄对124名雇员的样本进行研究得到的回归结 果为(括号内为估计的t值)：W 6.41 2.76SEX 0.99ED 0.12AGE-3.38(-4.61) (8.54) (4.63)_2 _R 0.867, F 23.2(1)求调整后的可决系数R2(2) AGE的系数估计值的标准差为多少？(3)检验该国工作妇女是否受到歧视？为什么？(4)求以95%勺概率，一个30岁受教育16 年的该国妇女，平均每小时工作收入的预测 区间是多少？解答：(1)R2ESS n k1 TSSn 1 ESSn k TSSR2124 1 ,1124 40.8670.864(2)t se-se? 0.12 0 se ? 0.0264.63(3)因为 t0.025 120 1.9799 4.61,所以 马 2.76显着)且 为负，即意味着妇女受到歧视。(4) W 6.41 2.76 1 0.99 16 0.12 30 10.27有公式知W0的95濯信区间为：W?0 t0.025 120 sj X。XX 1X0即 10.27 1.9799s,1 X0 XX 1 X0其中X01,1,16,30设某公司的投资行为可用如下回归模型描述：其中Ii 为当期总投资，Fi 1为已发行股票的上期期末价值， Ki 1为上期资本存量。数据见课本71 页。（ 1） 对此模型进行估计，并做出经济学和计量经济学的说明。（ 2） 根据此模型所估计的结果，做计量经济学检验。（ 3） 计算修正的可决系数。（4）如果2003年的I和k分别为和，计算L在2003年的预测值，并求出置信度为 95%的预测区间。解答：equation i c f kexpand 1984 2003smpl 2003 2003f=k=smpl 1984 2003yf sfscalar tc=qtdist,16）series yl=yf-tc*sfseries yu=yf+tc*sfshow yl yf yu(1)最小二乘回归结果为：I? 109.7984 0.114158F0.326143Ki 1se (97.43575) 0.0234780.039398t ( 1.126880) 4.8623448.278217R2 0.890687 R2 0.877022 F=65.18405 P=0经济意义说明：在假定其他变量不变的情况 下，已发行股票的上期期末价值增加1单位,当期总投资增加单位；在其他变量不变的情 况下，上期资本存量增加 1单位，当期总投 资增加单位。(2)模型的拟合优度为R2 0.890687 ,修正可决 系数为R2 0.877022 ,可见模型拟合效果不错。F检验：对模型进行显着性检验，F统计量对应的P值为0,因此在 0.05的显着性水平 上我们拒绝原假设Ho： 2 3 0,说明回归方程 显着，即变量“已发行股票的上期期末价值” 和“上期资本”存量联合起来确实对“当期 总投资”有显着影响。F F 2,163.63t检验：针对Ho： j 0j 1,2,3进行显着性检验。 给定显着性水平0.05 , 查表知 t 2 16 2.12 o 由回归结果，2、2对应的t统计量的绝对值均大于，所以拒绝Ho： j 0 j 2,3 ；但?1对应的t统计 量的绝对值小于，在的显着性水平上不能拒 绝Ho： 1 0的原假设。(3) R2 0.877022(4) l在2003年的预测值为，置信度为95% 的预测区间为(，)sf 105.9276设一元线性模型为/.I (i=1,2,.,n) 其回归方程为Y? ? ?x ,证明残差满足下式 ? Y Y SY(Xi X)Sxx如果把变量X2, X3分别对X1进行一元线性回归，由两者残差定义的X2, X3关于X1的偏相关系数23.1满足： 解答：r23.123r21r31（1212）（1J）（1）对一元线性模型，由 OLS可得? Y ?X? Xi X Y Y SXYXI X 2SXX所以,YiYSXYXYiYSXX SXY? Xi ?Xi|XYSXXXi XSXX(2)偏相关系数是指在剔除其他解释变量 的影响后，一个解释变量对被解释变量的影 响。不妨假设X2, X3对Xi进行一元线性回归得 到的回归方程分别为：X2 ?i ?2Xi e X3 ?i ?2Xi e2则，值。所以0,就分别表示X2, X3在剔除Xi影响后的X2 , X3关于Xi的偏相关系数就是指ee的简单相关系数。所以，eir23.1，e26Xii Xi X2i2Xii Xi X2iXiiXiX2iX2。=2)2XiiXiX2XiiXi X3i2, r3i- 2X2XiiXi X3iXii Xi XXiiXX32X33i X3-2 iX1i X1xli , X2i X2X2i,X3i X3x3ix3i2注意到X2 ?1，?2r3iXii2?2Xi , X3?2Xi ,6X2i?2Xii , e2iX3i?2Xii所以r23.1e2ie2ie22 e2eiie2i-2 ei其中,X2i X3iX2i X3iX2i-2X1i2X2 i X1ir31X3i?-2-2XliX1i X3i2X1iX3i2X1i22 2X2iX1ir21X2i22X1i 为X1iJ 22X2iX3ir3122r23 - X2i X3i22r23 - X2i X3i同理可得：r31r21r31r21X3i22 r21.X2i % 22X2iX3i22X2iX3i2X1ir21X1iX2i22 r31X1i立2rrX3i22一2X1iXii2 r31 .222X3iXlir21r31，X3i2 “iX3i2 r31r212 X2ir21 r3122X3iX2 i2 &i2X3i2 e)i2 e2i所以2 r212 r312 X2i2 X3ir23r31r21r23.1/22 /1r21X2i122X2iX3i22r31X3ir231r212r31 r211考虑下面两个模型:I ：n ：(1)(2)(3)YiYi12X2i LXii 12X2i证明? ?i Xii1, IkXki il Xii L kXkij,j 1,2,L ,l1,l 1,L证明模型i和n的最小二乘残差相等 研究两个模型的可决系数之间的大小关系解答：（1Y11,X21,L ,Xk11Y21, X22 ,L , Xk222, 22 , , k 22Y ,X,M LLLLLL MYn1,X2n,L ,Xknk则模型I的矩阵形式为:模型n的矩阵形式为：）设1 1Xl12 2Xl2, Xl