一组勾股定理探究题勾股定理是初中数学中的重要定理之一.它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，反映了三边之间特殊的平方关系。在应用定理解证题后，进行深入探究，既有利于培养学生的分析问题和创造性能力，又能使勾股定理应用的教学余音不绝。近些年来，出现了很多与勾股定理相关的探究题，现举几例说明。一、有关勾股定理证明方面的探究题【例题1】如图1，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长是c。如图2，是以c为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？（2）用这个图形证明勾股定理。（3）假设图1中的直角三角形有若干个，你能利用图1中所给的直角三角形拼成另一种可以证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）。解：（1）示意图如图3，是直角梯形。（2）根据梯形面积公式知：S梯形 = (a+b) 2 ;同时该梯形面积等于所给三个三角形的面积之和：S梯形 =2(ab)+ c2所以，S梯形= (a+b) 2 =2(ab)+ c2 化简得：a2+b2=c2(3)如图4，等等。二、有关勾股数规律方面的探究题【例题2】观察下列表格：列举猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+2513、b、c132=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值。解：通过观察，每组勾股数的第一个都是奇数，3，5，7，9那么第n个奇数为2n+1设第二个数为x，第三个数为y则（2n+1）+x=y4n+4n+1=（y+x）（y-x）通过观察，每组勾股数中，第三个数与第二个数相差都为1y-x=1，y+x=4n+4n+1通过这两个就可求出x=2n+2n，y=2n+2n+1本题中2n+1=13,n=6,那么，b=26+26=84,c=26+26+1=85三、有关勾股定理拓展方面的探究题【例题3】ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图5，根据勾股定理，则，若ABC不是直角三角形，如图6和图7，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。解：若ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2 ；若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有a2+b20，x02ax0a2+b2c2 当ABC是钝角三角形时，证明：如上图9，过点B作BDAC，交AC的延长线于点D。设CD为x，则有DB2=a2x2 根据勾股定理得 (bx) 2(a2x2)c2即 b22bxx2a2x2c2a2b22bxc2b0，x02bx0a2+b2c2 四、有关勾股定理应用方面的探究题【例题4】如图10，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3(1) 如图10，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图10，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2 。(1) S1=S2+S3 。(2) S1=S2+S3 。 证明如下： (3) 当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3. 证明如下： 所作三个三角形相似， ，。 (4) 分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3 。