1.9三矢量的混合积一、概念* * . .定义 给定空间的三个矢量 .!.,如果先做前两个矢量与的矢性积，再做所得 F的矢量与第三个矢量 的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量二，-.,:的混合积，记 rsr做（）或（，,）或（一1）.二、性质 r t 定理1.三个不共面矢量 丄，.,的混合积的绝对值等于以 二，】为棱的平行六面 体的体积V并且当,人构成右手系时混合积是正数；当二,?,构成左手系时，混合积是负数，也就是有 rrO - ： ） = V， 当：，；，：是右手系时；=1;当,:.,1是左手系时 =-1.r r证明：平行六面体的底面是以 二，.为边的平行四边形，面积为s= n . i,它的高I OH =h,它的体积V = S h （如图 1-26 ）. r9- r而（】）=（丿= I V II 】I COSTT=S h =V （Q , b, C构成右手标架）， rrr或（，：；）=（一;- = I II： I cos U e） r=S h= V （二,:,丨构成右手标架）. T定理2.三矢量二,?, 1共面的充要条件是 （二F :1 ）=0. t十+sr9证明：当二与：共线即 时，或: 时，显然,?, 1共面且有（八：）=0. 下面假设丿与不共线且 H ： r r r r如果（一.一）=0，即J . =0，贝y （一. ?）丄1 ,又根据矢性积的定义知（）丄， trt（二;）丄1,所以三矢量丿，?,共面.反过来，如果丿,:,共面，那么由（-；：）丄，U ）丄丨知（“ ）丄I ,于是 r r （二） . =0，即（-: ）=0.定理3.轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变混合积符 号，即卩fl（：）=（ _：）=（】_.）= _（.】）=_（. ）= 4 ）. r r证明：当二,-,】共面时，显然成立；当-I,不共面时，轮换混合积的三个因 r 子或对调任何两个因子，混合积的绝对值都等于以丄,，】为棱的平行六面体的体积.而 r轮换二,?,:的顺序不会改变左（右）手系，因而混合积不变；而对调任何两个因子，将 左（右）手系变为右（左）手系，所以混合积要改变符号 r 9推论.（打）=（1）. 证明：（二?） : =（ 一I）=（: . ）=C x - ） -=二（-）.三、坐标运算r1. 如果 a =Xi, y, z, h=X2, y Z2, c =X3, w, Z,那么（&花）=兀 y1 z2 禺鸟a|.2. 如果 j.=Xi,Yi,乙,=%,匕Z2,1 =X3,YZ3,那么,-面的充要条件是兀y2z2忑K7= 0.例1.已知三非零矢量 二,.,，则|（丿， , : ）| w |二|】|等号成立？并写出坐标表示式 .证明：因为（丿，；,1 ）=U -） =1 一= II I |cos .（二. , 1 ）,.flIB所以 |（，=I）|=|（打?） : |=|:| 1 |cos .（打,】）|w|:| |1 | =| |? | |1 | Sin .（二,?） LH | | | 1 |.欲使等号成立，则必有si n.（，；）=1, |cos .（二：,:）|=1同时成立，/（打，：）=- 且 乙（-： ,- ）=0 或 二，此即： I ,（丿）11 .所以当,：,两两互相垂直时等号成立.设=Xi,Yi,乙,冷YZ2,: =X3,Y3,Z3,则有爲g讥虧育丐傅函两不耐例 2.设径矢：-,证明: = （）+（.） + （）垂直于 ABC平面.证明：因为二上=1=J-.=1叮_厂*-,所以同理可证.所以二平面ABC例3.设二,?,:为三个非零矢量，证明1三个矢量共在什么条件下从而有（1） （,，丨，1 +,+）=（丄，丨，1 ）;（二 +，1+ ,】）=2（ 7 ,匕 1 ）.证明：左端=u （+*+）=（二：0： +（一： ）（=）+（,：）（工）=（一：） + ,（ =）+（：?） ;=（: ）+（*）+ （:）=（一：X ）=右端（2）左端=（丨+： ） （ +二）（二 +）=1 .： -：（+ = ）=（ ：）：！+（=） ：!+（】二）匚+（扌行）+（暑）J+C 丿八.=（X 打）+（】U）=2（一二）=右端.IBIBI.!例 4. , = T +-|-. + 1 . ,， lJ - +- +：,=- +- - + _ .al坏5A C2试证明（必罚帀）=码玄g（L,坷）.碣4证明：因为dx0 =勺妇所以（“）=（： j -坷 .吗b3（色禺）沟1证明（+H , I , I ）=，（ I ,，I ）+ 叫 1 , t , I ）. 2.求下列混合积的值（1）（,，I ）；（ r* 円斗活（：，！，-：-）;（3. 设二=3. +4= , f =_ 2. , = 2 . + 3：,试证明二,1；一 共面.