概率教学中“错误观念”转变的实践研究杨 涛（江苏教育学院无锡分院 无锡高等师范学校）1问题提出 案例一 5人欲通过抓阄方式决定谁取得某物，为此设5个阄，其中只有一个阄是有物的阄，5 人依次从中抓取，是先抓阄的人得到此物的可能性大还是后抓阄的人得到此物的可能性大？回答不一事实上，抓阄有先后，但得到此物的可能性是相等的案例二 众所周知，投掷1枚均匀硬币出现正面朝上的概率为，那么投掷100 枚均匀硬币出现 50 次正面朝上的事件发生的概率大吗？回答同样不一，甚至很多人认为该概率应该很大事实上，通过计算可知，这个概率只有 8%左右以上两个问题，学生在还未学习概率知识之前，就能凭借经验和直觉作出回答，但回答往往是错误的高中阶段即使有些学生已学过了概率知识，在碰到某些具体问题时，仍不会或不善于应用已学过的概率知识进行定量分析，他们对随机现象问题依旧有一些根深蒂固的错误认识出现这些错误认识的根源究竟何在？概率教学中教师可采取哪些策略以转变学生的错误观念，实现教学过程的最优化？本文拟对此作一阐述2理论界定数学错误观念是指学生的知识经验中存在着的与新知识的学习不一致甚至相互冲突的经验，这些经验常常与科学知识相违背，是对数学概念的错误理解、偏见和误解等建构主义者认为学生在学习新知识时，头脑中并不是一片空白，而是存在着丰富的知识经验其中与新知识相一致的部分，可作为认识和理解新知识的基础，以实现知识的同化而其中一些错误的前概念，往往是由于日常生活经验、教师、教材等因素长期积淀而成，根植于一个与科学理论不相容的概念体系，因此具有极大的广泛性、顽固性、隐蔽性随着数学教学的进行，新的错误又会不断地形成和发展，这势必将妨碍学生正确认识和理解相关的新知识，从而得出错误的认识，形成错误的观念实践表明，学生头脑中的错误观念往往并不简单是由理解的偏差或遗忘造成的，它的成因是多方面的，往往受感知能力局限性的影响，特别是学生头脑中存在着许多与数学概念内涵不一致的看法或观点，呈现以旧有图式即已掌握的内化的知识结构为中心的趋向皮亚杰的发生认识论指出：认知冲突是指人的原有图式与新感知的事件或客体之间的对立性矛盾学生学习新知识时，总是试图以原有认知结构来同化对新知识的理解，当遇到不能解决的新问题时，就会发生认知冲突冲突的产生和碰撞，使学生需要对新信息或原有的图式作调整，以解决冲突，实现知识的顺应波斯纳的观念转变理论也提出，对当前的观念不满足是产生观念转变的关键因素因此，引发观念冲突是观念转变的契机和动力，围绕“引发观念冲突、完善认知结构”的方法来促进观念转变，对于转变学生的错误观念是一种尤其有效的教学策略教学中教师应对错误观念的成因和特点作出分析，采取有效的策略暴露学生的错误观念，改变学生原有认知中与科学观念相矛盾的图式，达到解决冲突，完善学生认知结构的目的3概率教学中“错误观念”转变的实践研究概率是研究随机现象规律性的学科其思维的本质在于：对随机事件发生的频繁程度定量化，在不确定的情景中做出确定的判断由于学生过去接触的主要是确定性事物，对于不确定性事物的认识非常有限，学生头脑中有关概率的认识大都来自于个体的一些零碎的、不成熟的经验，使得学生很难用已获得的解决确定性数学问题的思维方法去求得具有抽象性和不确定性的概率问题的解他们常常会使用可能、随机、运气、机会、公平等词汇，并根据他们对这些词汇的理解来处理或表达随机问题，凭直觉对问题作出判断，从而产生错误的理解、偏见和误解因此在概率教学中，教师更应精选案例，恰当运用转变“错误观念”教学策略，引发学生观念冲突，帮助学生完善认知结构3.1对比辨析法概率中涉及到很多的新概念和新模型，它们之间往往具有一定的抽象性和相似性，使得学生对这些概念和问题的理解容易产生混淆学生在求解有关概率问题时，常常会感到其中某些概念和问题看似相同，实则不同，甚至有些说法与日常直觉相违背，这就对学生理解和解决问题造成了潜在的困难为此在概率教学中，教师可通过概念之间的比较、设置问题变式等形式，引导学生对比辨析，推敲它们之间的区别与联系，分析问题的异同所在，深刻理解概念，主动建构模型例1 判断下列命题的正误（ ）(1) 抛掷100次硬币，出现正面向上的频率为0.45，则该次试验中，硬币正面向上的次数为45次.(2) 若一批产品的次品率为0.05，则从该产品中随机抽取100件，一定会有5件次品.分析：学生往往不能从本质上理解频率和概率这两个概念，错误认为频率即概率，或虽能区分它们定义上的异同但在实际问题中却不能灵活运用设置以上两个判断，让学生在运用中辨析概念，自觉修正认知错误认识到：频率是随机的，它随着试验次数的改变而改变，但又是有规律可循的，在大量重复试验中，随机事件的发生呈现一定的规律性，频率的值是稳定的，接近于一个常数，这个常数就是随机事件发生的概率，概率是一个客观存在的常数还要认识到，虽然事件发生的概率反映了事件发生的必然规律，但事件的发生又带有偶然性，会出现频率偏离概率的情形，甚至还可能偏离较大，从而作出判断：(2)是错误的例2 袋中有8只白球，7只红球，每次从中取出一个(1) 若有放回地摸球，求第3次摸到红球的概率；(2) 若无放回地摸球，求第3次摸到红球的概率；(3) 若有放回地摸球，求第3次才摸到红球的概率；(4) 若无放回地摸球，求第3次才摸到红球的概率；(5) 若无放回地摸球，求3次均摸到红球的概率；(6) 若无放回地摸球，求3次内摸到红球的概率；(7) 若有放回地摸5次球，求恰有3次摸到红球的概率；(8) 若有放回地摸5次球，求某三次摸到红球的概率； (9) 有放回地摸球，若摸到2次红球即停止，求恰好摸5次停止的概率；(10)有放回地摸球，若连续摸到2次红球即停止，求恰好摸5次停止的概率 评述：在随机摸球问题中，由于摸球方式的不同，会得到不同的概率结果实践表明，教学中若将以上问题分散处理，学生往往并不感到吃力，但当将这些问题集中出现时，学生往往感到困难重重，表明学生对“有放回”和“无放回”、“第次摸到红球”和“第次才摸到红球”、“相互独立事件”和“互斥事件”、“有顺序”和“无顺序”、“连续”和“不连续”等概念理解并不透彻是什么导致学生先会后又不会了呢？事实上，先前的教学中教师当天的教学内容对学生课后解决问题有一定的暗示作用，很多学生已习惯于依葫芦画瓢，老师当天讲什么学生就套用什么解决问题，实质并未真正理解概念通过以上变式题组的训练，引发学生解决问题中出现的观念冲突，让学生在对比中辨析概念、问题，寻找相应的概率模型，帮助学生完善认知结构，培养学生研究问题、分析问题、解决问题的意识和能力3.2反例纠错法数学由证明和反例组成，数学发现主要是提出证明和构造反例从科学性来讲，反例是推翻错误命题的有效手段；从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解美国数学家B.R.盖尔鲍姆曾说：“一个数学问题用一个反例予以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧”高中阶段由于学生对概率知识和随机现象只停留在了解阶段，对概率的相关知识并不作深入的研究，因此对有些结论我们可以通过反例来说明其错误性例3 不可能事件的概率为零，概率为零的事件也一定是不可能事件；必然事件的概率为1，概率为1的事件未必是必然事件 分析：教材中，古典概型被安排在几何概型之前，我们知道，当考虑的概型为古典概型时，概率为零的事件一定是不可能事件受先入为主思想的影响，学生会认为：当考虑的概型是几何概型时，概率为零的事件也是不可能事件事实并非如此，通过举反例，学生很容易纠正这一错误观点如图，设试验为“随机地向边长为1的正方形内投点”，事件为“点投在正方形的一条对角线上”此时 尽管 但却可能发生事实上，对于连续性随机变量，它在某固定点取值的概率为零，但它也有可能发生发生上述情形的原因，在于概率是一个测度，有测度为的不可数集存在，并且对于连续函数来说，在一点处的积分为零因此，当考虑的概型是几何概型时，概率为零的事件未必是一个不可能事件同样，由对立事件知，概率为1的事件未必是必然事件 例4 同一问题的概型未必唯一.分析：学生往往认为，同一问题的概型一定是唯一的，事实并非如此，概率论中著名的“n个球在n个盒子中的分布问题”就说明了这一情况内容是：设有r个球，每个都能以相同概率落到n个盒子（n=r）的每一个盒子中，求指定的某r个盒子中各有一个球的概率由于球彼此间可以认为有区别，也可以认为无区别；一个盒子可以假定仅能容纳一个球，也可以允许它容纳许多球，如此一来，就可以分为以下几种概型：（1）马克斯威尔波尔茨曼认为球彼此之间有区别，且对每盒中可容纳球数不加限制；（2）玻色爱因斯坦认为球彼此不能区别，且对每盒中可容纳球数不加限制；（3）费密狄雷克认为球彼此无区别，且限制每盒中不能同时容纳二个球通过对不同概型下的概率的计算，学生真切体会着同一问题不同概型所导致的概率的不同，不仅帮助学生修正了概率认知中的错误，也培养了学生思维的缜密性3.3错误尝试法学生在学习数学时，对某些概念常会产生一些误解或偏差，虽然教师给予解释、指正，但往往难以奏效在这种情况下，不妨让学生自己在有偏差的思路上碰一碰壁，在错误的泥潭中拔一拔脚，切身感受一下陷入错误的滋味，然后再拉一把，适时给予点拨和引导，让学生“吃一堑，长一智”，从山穷水尽的困境走向柳暗花明的坦途，享受成功的快乐实践表明，这种先尝试错误，再纠正错误的方法，不失为一种有效的教学策略例2 某人有5把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，则恰好第三次打开房门锁的概率是多少？分析：由于受生活经验的影响，一般学生认为越往后打开的可能性就越大，并对此结论深信不疑产生如下解法：第一次打开的方法有1种，第二次打开的方法有种，第三次打开的方法有种，依次类推，每种方法都是等可能的，故应用等可能事件的概率得，恰好第三次打开房门锁的概率为：这样的解答正确吗？事实上，虽然列举的1、种方法在各自的情况下是等可能的，但彼此之间却不是等可能的出现以上错误，教师不必急于纠正学生的错误，可以让学生充分暴露错误思维“等可能性”是一种假设，它是一种理想状态由于受日常所说的“可能性”（多指某一次结果的不肯定性）的影响，学生往往不能理解概率意义下的“可能性”（指单次结果的不肯定性和积累结果的有规律性），片面认为“在一次实验中每一可能的结果都有同等的发生机会，随机事件其本质应该是等可能的”教师帮助学生寻找错误的根源，并尝试从其它角度寻找解决问题的方法有同学考虑前三把钥匙开锁的情形，得到如下解答：解法1：是5把钥匙中拿出3把排列的所有情形，是第三次打开的所有情形，则若将样本空间取为5把钥匙的全排列，从整体角度考虑问题即得：解法2：选取5把钥匙的全排列为样本空间，是中能打开锁的钥匙排在第三位的所有排列情形，则若考虑到“恰好第三次打开房门锁”即“第一、二次未打开，第三次打开”用条件概率求解即得：解法3：则（其中分别为第一次未打开、第二次未打开、第三次打开的概率）几次求解结果的矛盾，使学生的思维陷入困境认知冲突的出现，激起了学生探究的热情，学生迫切希望得到教师的点拨，表现出极强的求知欲，此时教师的点拨恰到好处通过建立不同的概率模型，获得多种解题方法，从中体会错误所在，加深对概念的理解，真正理解“抽签有先后，对个人公平”的论断，杜绝生活中的盲目行为3.4合作交流法 由于学生对问题认识的深度和广度不同，对事物的理解就会有的全面、有的片面、有的深刻、有的肤浅、有的正确、有的错误通过合作学习，在交流的过程中，学生之间就会产生不同观念的对立、交锋，从而引发观念冲突此外，通过合