如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 华 北 水 利 水 电 学 院题目：柯西-施瓦兹不等式应用求极值课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 应用化学2011123 成 员 组 成：姓名:郑永帅 学号：201112323 姓名：姜林强 学号：201112325联 系 方 式： 13526021053 18236914371 2012年 05月20日1 / 18- 1 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!柯西-许瓦兹不等式的推广与应用摘要：柯西-许瓦兹不等式在许多领域都有广泛应用，如线性代数的矢量运动、数学分析的无穷级数、函数乘积的积分、概率论的方差和协方差等方面。柯西-许瓦兹不等式在不同的空间有着不同的形式，同时也有着许多的变形及推广。本文总结了柯西-许瓦兹不等式在实数域、微积分、欧氏空间以及概率空间中的形式及其证明，并给出了它的一些推广和应用。关键词：柯西-许瓦兹不等式；实数域； 欧氏空间；概率空间 The Generalization and Distortion of Cauchy-Schwarz InequalityAbstract: Cauchy-Schwarz inequality has wild applications in many areas such as motion vector in linear algebra, the infinite series in mathematical analysis, the integral product of function, variance and covariance in probability theory etc. It is used in the different spaces with different forms, and has a lot of distortions and generalization.This paper summarizes the form and its proof of Cauchy-Schwarz inequality in the real fields, calculus, Euclidean space, probability space, and gives its generalization and application. Key words: Cauchy-Schwarz inequality; Real number field ; Euclidean space; Probability space 2 / 18- 2 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 1 引言2 研究问题及成果 2.1柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广与应用 2.1.1柯西-许瓦兹不等式在实数域中的定义 2.1.2柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广 2.1.3柯西-许瓦兹不等式在实数域中求极值的应用 2. 2柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广与应用2.1.1柯西-许瓦兹不等式在微积分中的定义2.2.2柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广2.3.3柯西-许瓦兹不等式在微积分中的应用求极值3 结束语4 参考文献3 / 18- 3 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 引言： 在微积分、线性代数和概率论等学科中，从不同的角度和方法对同一事物做出证明和诠释，著名的柯西不等式就是一个具体的例子。它可以充分说明人类思维的多样性和不同领域的数学之间的内通行、渗透性和完备性。此外，不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支，本文主要介绍著名的不等式柯西斯瓦兹不等式求函数极值及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个重要的不等式，本文用了几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式，解方程等方面的应用。 4 / 18- 4 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!1、柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广与应用1.1柯西-许瓦兹不等式在实数域中的定义定义:设,则有 （1.1）其中当且仅当 (为常数)等号成立。 柯西-许瓦兹不等式在实数域中有着广泛的应用，现在我们通过它的三种证明方法，来加深对其的理解。证法一：我们利用一元二次函数的知识来证明证明：设，则由于,因此上述不等式的判别式，则即证法二：利用一元二次不等式的知识来证明证明：平方和绝不可能是负数，故对每一个实数都有其中，等号当且仅当每一项都等于0时成立，该不等式可以变形为 ，其中，如果,不等式显然成立如果，因为恒成立，所以成立5 / 18- 5 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!即等号当且仅当 (为常数)成立。证法三：利用向量的知识来证明 证明：设是两个维向量，则由于因此 ，即当时等号成立， 即或时，也即与共线时等号成立.1.2柯西-许瓦兹不等式在实数域中的推广推论1.柯西-许瓦兹不等式在实数域中的基本变形与推广 在（1.1式）中，令，则 （1.2） （1.3）令 则 6 / 18- 6 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! （1.4）（1.1） （1.5）（1.1） （1.6）推论2 .将柯西-许瓦兹不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式.赫尔德不等式：对任意的非负数有 其中满足且 （1.7）证明：利用不等式其中为非负数且得赫尔德不等式中，当时为柯西-许瓦兹不等式。推论3.若将则可导出相应的无穷不等式7 / 18- 7 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 设数项级数与收敛，则也收敛，且 （1.8）推论4.设为组正实数，则有证明：令其中由平均值不等式得 对之作和得所以有：1.3柯西-许瓦兹不等式在实数域中的应用例1-1设，求证：证明：不等式左边等于 8 / 18- 8 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 所以得证.例1-2若都是正数，又（常数），求证：.证明：根据柯西-许瓦兹不等式（1.1）式可得于是得：例1-3设 ，若则；解：应用（1.1）式 ，例1-4证明中任意三点 满足三角不等式 证明：设 若式成立，则有：则 9 / 18- 9 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!而 于是：即：由（1.1）式知上式成立，所以可得例1-5.设，则有当且仅当时等号成立.证明：由（1.1）式可得，则：所以例1-6已知 且不等式 恒成立，求的取值范围。 解： 10 / 18- 10 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 故参数的取值范围是2、柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广与应用2.1柯西-许瓦兹不等式在微积分中的定义定义：设,在上可积，则 （2.1），或与成正比，则等号成立.证明：因为,都在上可积，则由定积分的性质 均在上可积，对区间进行等分，分点为由定积分的定义，有 由式可知再由极限的保号性易知（2.1）成立若对，或与成正比，则（2.1）式中等号成立，但其逆不真.2.2柯西-许瓦兹不等式在微积分中的推广推论1.（明可夫斯基不等式）设,都在上可积，则有明可夫斯基不等式11 / 18- 11 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! （2.2）证明： 由（2.1）式可知因为两边都大于等于零，且右边大括号内也大于等于零，所以有推论2： 当存在一组不全为零的 使得 时等号成立，不等式（2.1）可以改写为以下行列式形式 （2.3）以这样的形式给出的好处在于形式美观便于推广设均在上可积，则有 （2.4）证明:注意到关于 的二次型为非负二次型，从而其系数行列式从而得证.推论3:设 均在上可积，则有12 / 18- 12 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! （2.5）2.3柯西-许瓦兹不等式在微积分中的应用例2-1.设在上连续，且试证：证明：同理有：则 例2-2设 在上连续，证明：证法一：把不等式中的换成,移项得设则 为单调函数，故，所以13 / 18- 13 -如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!证法二：根据 得证. 证法一用构造辅助函数，再利用函数的单调性证明，证法二利用柯西-许瓦兹不等式证明，所以我们可以看出后者比前者简单的.例2-3.设均在上可