第66课 双曲线的简单几何性质 1（2013湖南高考）已知双曲线 ：的焦距为 ，点在 的渐近线上，则的方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】设双曲线的半焦距为，又的渐近线为，点在 的渐近线上，即又，的方程为2（2013浙江高考） 如图，中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点，是双曲线的两顶点若将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）A B C D 【答案】B 【解析】设椭圆的长轴为，双曲线的长轴为，由将椭圆长轴四等分，则，即，双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为，双曲线的离心率为，3（2013惠州一模）设和为双曲线的两个焦点，若，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A B C D【答案】B【解析】，4（2013汕头一模）已知、分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，若，且的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A B C D【答案】C【解析】不妨设是双曲线右支上的一点， 设，的三条边长成等差数列， ，或（舍去）5（2013湛江二模）已知椭圆: 的左、右顶点分别是、，是双曲线: 右支轴上方的一点，连结交椭圆于点，连结并延长交椭圆于点（1）若，求椭圆及双曲线的离心率；（2）若和的面积相等，求点的坐标(用，表示）【解析】（1），在椭圆中，椭圆的离心率为，在双曲线中，椭圆的离心率为（2）设、的坐标分别为、，依题意：、的坐标分别为、，和的面积相等，代人椭圆方程，得，即，由在双曲线的右支上，得，将代人化简得：，或（舍去），点的坐标为6（2013上海高考）在平面直角坐标系中，已知双曲线 （1）设是的左焦点，是右支上一点 若，求过点的坐标； （2）过的左顶点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为的直线交于、两点，若与圆相切，求证：【解析】（1）双曲线：，左焦点 设，则， 由是右支上一点，知，得 （2）左顶点，渐近线方程： 过与渐近线平行的直线方程为 解方程组，得 所求平行四边形的面积为 （3）设直线的方程是直线与已知圆相切，即 (*)由，得 设，则 ， 由(*)知，