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精品资料欢迎下载勾股定理、勾股定理的逆定理和全章的复习例题精讲1. 勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边 c的平方。(即:a2+b2=c2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。3. 如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形(1 )首先确定最大边(如:C,但不要认为最大边一定是 C)(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若 c2=a2+b2,则厶ABC是以/ C为直角的 三角形。(若c2a2+b2则厶ABC是以/ C为钝角的三角形,若 c2a2+b2则厶ABC是以 / C为锐角三角形)、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。解:设此直角三角形两直角边分别是3x, 4x,根据题意得:2 2 2(3X) + (4x) =20化简得x2=16;1 2直角三角形的面积 =X3 X X4 x=6x =962注:直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程 (组)求解。例2、等边三角形的边长为 2,求它的面积。解:如图,等边 ABC作AD丄BC于D1则:BD=- BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)2/ AB=AC=BC=(等边三角形各边都相等) BD=1在直角三角形 ABD中 ABAD+BD,即:AD=AB BD=4 1=3 AD= . 3 S AB(= 1 BC- AD= _ 32注:等边三角形面积公式:若等边三角形边长为a,则其面积为例3、直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。解:设此直角三角形两直角边分别是x, y,根据题意得:k + y+5=12(1):x2 +y2 =52由(1)得:x+y= 7,222(x+y) =49, x +2xy+y =49 (3) (2),得:xy=12112直角三角形的面积是xy= X 12=6 ( cm)22精品资料欢迎下载例4、在锐角 ABC中,已知其两边 a=1, b=3,求第三边的变化范围。分析:显然第三边b acb+a,但这只是能保证三条边能组成一个三角形,却不能保证它一定是一个锐角三角形,为此,先求 ABC为直角三角形时第三边的值。解:设第三边为 c,并设 ABC是直角三角形 当第三边是斜边时,c2=b2+a2,. c=. 10 当第三边不是斜边时,则斜边一定是b,b2=a2+c2,. c=2 2 (即.8 ) ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点B旋转,使/ ABC成为锐角(如图),但当移动到点 A2位置时/ ACB成为直角。故点 A应当在A和A间移动,此时2 AC 10注:此题易忽视或中一种情况,因为假设中并没有明确第三边是否直角 边,所以有两种情况要考虑。例5、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是()A、8,15, 17B、4,5,6 C、5,8, 10D8,39, 40此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形:b2=c2 a2= (c a) (c+a)来判断。例如:对于选择支 D, 82工(40+39)X( 40- 39),二以8, 39, 40为边长不能组成直角三角形。答案:A例 6、四边形 ABCD中,/ B=90, AB=3 BC=4 CD=12, AD=13 求四边形 ABCD的面积。n+3 ,求 n。解:连结AC/ B=90 , AB=3 BC=4 AC=AB+BC=25 (勾股定理) AC=5AC+cD=169 , AD=169 aC+cD=aD/ ACD=90 (勾股定理逆定理) S 四边形 abc=Saab+Saac= AB * BC+ AC* CD=36 2 2本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例7、若直角三角形的三边长分别是n+1 , n+2 ,分析:首先要确定斜边(最长的边)长n+3 ,然后利用勾股定理列方程求解。解:此直角三角形的斜边长为n+3 ,由勾股定理可得:2 2(n+1) + (n+2) = (n+3)化简得:n2=4 n= 2,但当 n= 2 时,n+仁10 , n=22
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