课时规范练13函数模型及其应用基础巩固组1.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0x1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是0,5,其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下研究下面课题:为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.导学号241907309.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是底面为正方形的四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱(底面为正方形的直棱柱)ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是四棱锥的高PO1的4倍,O1,O分别为底面中心.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?创新应用组10.(2017江苏南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形的边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b厘米,其中ab.(1)当a=90时,求纸盒侧面积的最大值;(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.答案：1.C设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0x240,xN*).令f(x)0,得x150,生产者不亏本时的最低产量是150台.2.B由题意,设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0x70,xN),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)50=204 800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.3.D已知s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.4.解 (1)设A,B两种产品都投资x万元(x0),所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2,根据题图可得f(x)=0.25x(x0),g(x)=2(x0).(2)由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6,故总利润y=8.25(万元).设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元,则y=(18-x)+2,0x18.令=t,t0,3 ,则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.故当t=4时,ymax=8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.5.解 (1)根据所给的曲线,可设y=当t=1时,由y=4,得k=4,由=4,得a=3.则y=(2)由y0.25,得解得t5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-(h).6.解 (1)由题意可知x的取值范围为10x90.(2)y=5x2+(100-x)2(10x90).(3)因为y=5x2+(100-x)2=x2-500x+25 000=,所以当x=时,ymin=.故核电站建在距A城 km处,才能使供电总费用y最少.7.解 (1)由题意知p(x)=f(x)g(x)=4(104-|x-23|)(1x30,xN*).(2)由p(x)=当1x23时,p(x)=4(81+x)=44=400,当且仅当x=,即x=9时,p(x)取得最小值400.当23x30时,p(x)=4(127-x)=4.设h(x)=-x,则有h(x)=-1400.所以当x=9时,p(x)取得最小值400万元.因为两年内的税收为40015%301221.5%=648600,所以600万元的投资可以在两年内收回.8.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)2+p.(2)对于f(x)=x(x-q)2+p,由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,(2-q)2=1,又q1,所以q=3,所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0x5).(3)因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0x5),所以f(x)=3x2-12x+9,令f(x)0,得1x3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.9.解 (1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.因为A1B1=AB=6 m,所以四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=A1PO1=622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a m,PO1=h m,则0h6,O1O=4h.连接O1B1.因为在RtPO1B1中,O1+P=P,所以+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+a2h=a2h=(36h-h3),0h6,从而V=(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=2或h=-2(舍).当0h0,V是单调增函数;当2h6时,V0,V是单调减函数.故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2 m时,仓库的容积最大.10.解 (1)因为矩形纸板ABCD的面积为3 600平方厘米,故当a=90时,b=40,所以纸盒的侧面积S=2x(90-2x)+2x(40-2x)=-8x2+260x,x(0,20).因为S=-8x2+260x=-8,故当x=时,侧面积最大,最大值为平方厘米.(2)纸盒的体积V=(a-2x)(b-2x)x=xab-2(a+b)x+4x2,x,b60.V=xab-2(a+b)x+4x2x(ab-4x+4x2)=x(3 600-240x+4x2)=4x3-240x2+3 600x.当且仅当a=b=60时等号成立.设f(x)=4x3-240x2+3 600x,x(0,30).则f(x)=12(x-10)(x-30).于是当0x0,所以f(x)在(0,10)内单调递增;当10x30时,f(x)0,所以f(x)在(10,30)内单调递减.因此当x=10时,f(x)有最大值f(10)=16 000,此时a=b=60,x=10.故当a=b=60,x=10时纸盒的体积最大,最大值为16 000立方厘米.