线性代数 (A卷)、选择题(每小题3分,共15分)1. 设A、B是任意n阶方阵，那么下列等式必成立的是()(A) AB = BA (B)(ab)2 二 A2B2(C)(A + B)2 二 A2 + 2AB + B2(D) A + B = B + A2. 如果n元齐次线性方程组AX = 0有基础解系并且基础解系含有s(s n)个解向量，那么矩阵A的秩为()(A) n(B) s(C) ns(D) 以上答案都不正确3. 如果三阶方阵A = (a )的特征值为1,2,5，那么a + a + a及|a|分别等于( )j 3x31122331 1(A) 10, 8(B) 8, 10(C) 10, - 8(D) 10, 84. 设实二次型 f (x , x ) = (x , x )1 2 1 2x )1x丿2的矩阵为A，那么(A) A =(B) A =(C) A =11丿(D)A=5.若方阵A的行列式|A| = 0，则()(A) A的行向量组和列向量组均线性相关(B) A的行向量组线性相关，列向量组线性无关(C) A的行向量组和列向量组均线性无关(D) A的列向量组线性相关，行向量组线性无关二、填空题(每小题 3分,共 30分)1如果行列式D有两列的元对应成比例，那么该行列式等于;-1002. 设A = 2 1 0 , A *是A的伴随矩阵，则(A*)-1 = ;13 4 -1 丿3. 设 , 0是非齐次线性方程组AX = b的解，若九a +卩卩也是它的解，那么九+卩=4. 设向量 a = (1,1,1)t 与向量 0 = (2,5, t)t 正交，则 t =；5. 设A为正交矩阵，则|A| =;1 1 16. 设a, b, c是互不相同的三个数，则行列式a b c =;a 2 b 2 c 27-要使向量组 a 二（1,九,1）t , a 二（1,2,3） t , a 二（1,0,1）t 线性相关，则九二;1238. 三阶可逆矩阵A的特征值分别为-1,-2, -3，那么A一 1的特征值分别为;9. 若二次型 f （x ,x , x ） = x2 + x2 + 5x2 + 2tx x - 2x x + 4x x 是正定的，则 t 的取值范围1231231 21 32 3为；10. 设A为n阶方阵，且满足A2 + 2A-41 = 0，这里I为n阶单位矩阵，那么A-i =/210 r i0 1.已知A =1215B=01012丿00丿12342. 求行列式2341的值.34124123三、计算题（每小题9分，共27分）3求向量组 a,求矩阵X使之满足AX二X + B.二(1,O,1,O), a 二(-2,1,3, -7), a 二(3,-1,0,3,), a 二(4, -3,1, -3,)的一个最大无1234关组和秩.四、（10分）设有齐次线性方程组x + （尢一 1）x + x = 0,123 （尢一1）x + x + x = 0,123x + x + （尢一1）x = 0.123问当九取何值时，上述方程组（1 ）有唯一的零解;（2）有无穷多个解，并求出这些解.五、（12分）求一个正交变换X = PY ,把下列二次型化成标准形:f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + x 2 + 4 x x + 4 x x + 4 x x .1231231 21 32 3六、(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为l : ax + 2by + 3c = 0,11 : bx + 2cy + 3a = 0,2l : cx + 2ay + 3b = 0.3试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a + b + c = 0 .线性代数 (A卷)答案一、1. D2. C3. B4. A5. A二、1. 02. (A*)-1=-A3. 14. 35. 1 或-16. (c - a)(c - b)(b - a)7. 0& -1-丄2-9.-34 t 010.5-A+21三、1.解由 AX = X + B 得 X = (A -1 )-i B . (2 分)下面求(A-1)-1.由于1 1 0、A-I=1 1 11 1 丿(4分)01-1、(A-I)-1=1-11、-110丿(7 分)所以 0 1 - 1 、1 0、0 1、X =(A-I)-1B =1 -1 10 1=1 -1、j 1 0 丿-1 1002120-73-3丿 0-73-3丿4200-4-24丿1-234、01-1-3r + 2r43002120000丿（6 分）故向量组的秩是3 , a ,a ,a是它的一个最大无关组。（9分）123四、解方程组的系数行列式1 九一11|a| =九一111=-（! +1）（九一2）2（2分）11 九一1 当|a| = -（九+1）（九-2）2丰0，即九h-1且九工2时，方程组有唯一的零解；（4分） 当九=-1时，|A| = -（! +1）（九一2）2 = 0，方程组的系数矩阵为1 -2 1、A = -211, 1 1 -2J它有一个二阶子式1-2 =-3主0，因此秩（A ） = 2 n （这里n = 3），故方程组有无穷多个解对A施行-2 1初等行变换,可得到方程组的一般解为x = x ,1 3 一丄U = x ,其中X可取任意数；（7分）2 33X = X ,33 当九=2时,IaI = - （X +1）（九-2）2 = 0，方程组的系数矩阵为1 1 1 A =111,J 1 1丿显然，秩（A） = 1 n （这里n = 3），所以方程组也有无穷多个解对A施行初等行变换 可得方程组的一般解为X = X X ,1 23.丄b = X , 其中X , X可取任意数.（10分）2 223X = X ,33五、解二次型的矩阵为12 2、A = 2 1 2 , （2 分）2 2 1 丿因为特征多项式为九-122|XI - a| =2九-12=(X +1)2(1 5),22九一1所以特征值是-1 （二重）和5 .（4分）把特征值九=-1代人齐次线性方程组（尢I - A） X = 0得2 x 2 x 2 x = 0,123* 2 x 2 x 2 x = 0,1232 x 2 x 2 x = 0,123解此方程组可得矩阵A的对应于特征值九=1的特征向量为a1 = (11)T，叮(丄1)T - 利用施密特正交化方法将a ,a正交化:12卩 1 “1=（1。-疗,卩 2=（- 2丄1）T，再将卩,卩单位化得12(8分)2 2 6 6 6 耳二(,0, )T ,耳二(,)T ,1222636把特征值尢二5代人齐次线性方程组（尢I A） X = 0得4 x 2 x 2 x = 0,123* 2 x + 4 x 2 x = 0,1232 x 2 x + 4 x = 0,123解此方程组可得矩阵A的对应于特征值X = 5的特征向量为a = (1,1,1)T.3再将a单位化得(10分)3令2J663p =们,n “ )=076总12333运需J 263 J则P是一个正交矩阵,且满足-1 0 0、P-1AP = PtAP = 0-1 0、00 5丿所以，正交变换X = PY为所求，它把二次型化成标准形f (x , x , x ) = - y2 y2 + 5 y2 .(12 分)1 2 3 1 2 3六、证明:必要性由l , l , l交于一点得方程组123ax + 2by + 3e = 0Vbx + 2ey + 3a = 0ex + 2ay + 3b = 0有解,可知a 2b 3e1 b eR(A) = R(A) nb 2e 3a=0 n (a + b + e)1 e a=0(2 分)e 2a 3b1 a b1 be由于 1 e a = - 1(b - a)2 + (e - b)2 + (a - e)2丰 0，所以 a + b + e = 0 (3 分)21 a b充分性：a + b + e = 0 n b = -(a + e)a 2bn= 2(ae -b2) = 2ae - (a + e)2 = -a2 + e2 + (a - e)2丰 0b 2ea 2b 3ea b e1 b e又因为b 2e 3a=6b e a=6(a + b + e)1 e a=0e 2a 3be a b1 a bn R (A) = R (A) = 2, (5分)