例1 如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点求证：E、F、G、H四点共圆证明 菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OE、OF、OG、OHAC和BD 互相垂直，在RtAOB、RtBOC、RtCOD、RtDOA中，E、F、G、H，分别是AB、BC、CD、DA的中点，即E、F、G、H四点共圆(2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆例2 如图，在ABC中，ADBC，DEAB，DFAC求证：B、E、F、C四点共圆证明 DEAB，DFAC，AEDAFD=180，即A、E、D、F四点共圆，AEF=ADF又ADBC，ADFCDF=90，CDFFCD=90，ADF=FCDAEF=FCD，BEFFCB=180，即B、E、F、C四点共圆(3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆证明 在ABC中，BD、CE是AC、AB边上的高BEC=BDC=90，且E、D在BC的同侧，E、B、C、D四点共圆AED=ACB，A=A，AEDACB上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法，至于证第四点在前三点(不在同一直线上)所确定的圆上就不叙述了【例1】 在圆内接四边形ABCD中，A-C=12，且AB=23求A、B、C、D的度数解 四边形ABCD内接于圆，A+C=180A-C=12，A=96，C=84AB=23，D=180-144=36利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题【例2】已知：如图1所示，四边形ABCD内接于圆，CEBD交AB的延长线于E求证：ADBE=BCDC证明：连结ACCEBD，1=E1和2都是所对的圆周角，1=21=E四边形ABCD内接于圆，EBC=CDAADCCBEADBC=DCBEADBE=BC DC本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件，进而得到结论关于圆内接四边形的性质，还有一个重要定理现在中学课本一般都不列入，现介绍如下：定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和已知：如图2所示，四边形ABCD内接于圆求证：ACBD=ABCDADBC证明：作BAE=CAD，AE交 BD于 EABD=ACD，即 ABCD=ACBE BAE+CAE=CAD+CAE，BAC=EAD又ACB=ADE，ADBC=ACDE 由，得ACBE+ACDE=ABCEADBCACBD=ABCDADBC这个定理叫托勒密(ptolemy)定理，是圆内接四边形的一个重要性质这个证明的关键是构造ABEACD，充分利用相似理论，这在几何中是具有代表性的在数学竞赛中经常看到它的影子，希望能引起我们注意命题“菱形都内接于圆”对吗？命题“菱形都内接于圆”是不正确的所以是假命题理由是：根据圆的内接四边形的判定方法之一，如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆这个判定的前提是一组对角互补，而菱形的性质是一组对角相等而一组相等的角，它们的内角和不一定是180如果内角和是180，而且又相等，那么只可能是每个内角等于90，既具有菱形的性质，且每个内角等于90，那末这个四边形一定是正方形而正方形显然是菱形中的特例，不能说明一般情形判定四边形内接于圆的方法之二，是圆心到四边形四个顶点的距离相等圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是圆心菱形同样既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点但菱形的对称中心到菱形各个顶点的距离不一定相等所以，也无法确定菱形一定内接于圆；如果菱形的对称中心到菱形各边顶点的距离相等，再加上菱形的对角线互相垂直平分这些性质，那么这个四边形又 必是正方形综上所述，“菱形都内接于圆”这个命题是错误的5圆的内接四边形 例1 已知：如图7-90，ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形，通过对角线的交点E与AB垂直于点H的直线交CD于点M求证：CM=MD证明 MEC与HEB互余，ABE与HEB互余，所以MEC=ABE又ABE=ECM，所以MEC=ECM从而CM=EM同理MD=EM所以CM=MD点评 本例的逆命题也成立（即图中若M平分CD，则MHAB）这两个命题在某些问题中有时有用本例叫做婆罗摩笈多定理例2 已知：如图7-91，ABCD是O的内接四边形，ACBD，分析一 如图7-91（a），由于E是AB的中点，从A引O的需证明GB=CD但这在第七章1.4圆周角中的例3已经证明了证明读者自己完成*分析二 如图7-91（b），设AC，BD垂直于点F取CD的有OEMF从而四边形OEFM应该是平行四边形证明了四边形OEFM是平行四边形，问题也就解决了而证明四边形OEFM是平行四边形已经没有什么困难了*分析三 如图7-91（b），通过AC，BD的交点F作AB的垂线交CD于点M连结线段EF，MO由于OEAB，FMAB，所以OEFM又由于EFCD（见例1的点评），MOCD，所以EFMO所以四边形OEFM为平行四边形从而OE=MF，而由例3 求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中ABCD+BCAD=ACBD分析 在ABCD+BCAD=ACBD中，等号左端是两个乘积的和，要证明这种等式成立，常需把左端拆成两个单项式来证明，即先考虑ABCD和BCAD各等于什么，然后再考虑ABCD+BCAD是否等于ACBD而要考虑ABCD和BCAD各等于什么，要用到相似三角形为此，如图7-92，作AE，令BAE=CAD，并且与对角线BD相交于点E，这就得到ABEACD由此求得ABCD=ACBE在圆中又出现了ABCAED，由此又求得BCAD=ACED把以上两个等式左右各相加，问题就解决了证明读者自己完成点评 本例叫做托勒玫定理它在计算与证明中都很有用意一点求证：PA=PB+PC分析一 本例是线段和差问题，因此可用截取或延长的方法证明如图7-93（a），在PA上取点M，使PM=PB，剩下的问题是证明MA=PC，这只要证明ABMCBP就可以了证明读者自己完成分析二 如图7-93（a），在PA上取点M，使MA=PC，剩下的问题是证明PM=PB，这只要证明BPM是等边三角形就可以了证明读者自己完成分析三 如图7-93（b），延长CP到M，使PM=PB，剩下的问题是证明PA=MC，这只要证明PABCMB就可以了证明读者自己完成读者可仿以上的方法拟出本例的其他证明*本例最简单的证明是利用托勒玫定理（例3）证明 由托勒玫定理得PABC=PBAC+PCAB，由于BC=AC=AB，所以有PA=PB+PC 例2 如图7116，O1和O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D经过点B的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F求证：CEDF分析：要证明CEDF考虑证明同位角(或内错角)相等或同旁内角互补由于CE、DF分别在两个圆中，不易找到角的关系，若连结AB，则可构成圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质定理可沟通两圆中有关角的关系证明：连结ABABEC是圆内接四边形，BAD=EADFB是圆内接四边形，BADF=180，EF=180CECF说明：(1)本题也可以利用同位角相等或内错角相等，两直线平行证明如延长EF至G，因为DFG=BAD，而BAD=E，所以DFG=E(2)应强调本题的辅助线是为了构成圆内接四边形，以利用它的性质，导出角之间的关系(3)对于程度较好的学生，还可让他们进一步思考，若本题不变，但不给出图形，是否还有其他情况？问题提出后可让学生自己画图思考，通过讨论明确本题还应有如图7117的情况并给予证明例3 如图7118，已知在ABC中，AB=AC，BD平分B，ABD的外接圆和BC交于E求证：AD=EC分析：要证AD=EC，不能直接建立它们的联系，考虑已知条件可知ABD=DBE，容易看出若连结DE，则有AD=DE因此只要证DE=EC由于DE和EC为DEC的两边，所以只要证EDC=C由已知条件可知C=ABC因此只要证EDC=ABC因为EDC是圆内接四边形ABED的一个外角，所以可证EDC=ABC问题可解决证明：连结DEBD平分ABC，AD=DEABED是圆内接四边形，EDC=ABCAB=AC，ABC=C，EDCC于是有DE=EC因此AD=EC四、作业1如图7120，在圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，并且ACBD，BAD=7018，求四边形其余各角2圆内接四边形ABCD中，A、B、C的度数的比为236，求四边形各内角的度数3如图7121，AD是ABC外角EAC的平分线，AD与三角形的外接圆交于点D求证：DB=DC作业答案或提示：1ABC=ADC=90，BCD=109422A=45，B=67.5，C=135，D=112.53提示：因为DBC=DAC，EAD=DCB，EAD=DAC，所以DBC=DCB，因此DB=DC判定四点共圆的方法引导学生归纳判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)3如图7124，已知ABCD为平行四边形，过点A和B的圆与 AD、BC分别交于 E、F求证：C、D、E、F四点共圆提示连结EF由B+AEF=180，BC=180，可得AEF=C四点共圆的应用山东宁阳教委教研室 栗致根四点共圆在平面几何证明中应用广泛，熟悉这种应用对于