概率论与数理统计及其应用习题解答1. 计算机中心有三台打字机 A,B,C,程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1,打字机发生故障的概率依次为 0.01, 0.05, 0.04已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序 是在A,B,C上打字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M , “程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件Ni,N2,N3。则根据全概率公式有P(M)= P(Ni)P(M 1)=0.6x0.01 +0.3x0.05 +0.1x 0.04 =0.025, i 4根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为P(N1 | M )=P(Ni)P(M |Ni)P(M )0.6 0.010.025= 0.24P(N2 | M )=p(N2)p(m |N2)P(M )0.3 0.050.025=0.60#P(N3)P(M|N3)0.1 0.04P(M )P(N3 | M )= 0.16。0.0252. 用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为 0.8;若真不含有杂质检验结果为 不含有的概率为0.9,据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含 有杂质的概率分别为0.4, 0.6。今独立地对一产品进行了 3次检验,结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。(注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式)解：设“一产品真含有杂质”记为事件 a , “对一产品进行3次检验,结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事P(A)P(B | A)件B。则要求的概率为P(A|B)，根据Bayes公式可得P(A|B)=P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)又设“产品被检出含有杂质”记为事件C,根据题意有P(A) = 0.4,而且 P(C|A)=0.8 , P(C|A)=0.9,所以P(B| A) =Cf x0.8 (1 -0.8) = 0.384; P(B | A) = C；x (1 - 0 x 0.9 = 0.027故,P(A)P(B | A)P(A| B) = _=04 x0.384=036 = 0 9046P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) 0.4 0.384 0.6 0.0270.16983, 一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内,以X表示铃响至结束讲解的时间。设 X的概率密度为f(x)=侬21(1)确7E k ; (2)求 PX 苴；3(3)求 px 231求 PX 菱1 ; (4)42-bo解：(1)根据 1 = J f (x)dx = Jkx2dx、得到k =3；3(2)1/31PX =30A 3Rxdx = - 1 27 (3)P1 _ X _ 匕=3x2dx =421/43(1 I231 I4；I；(4)2., 22PX a = (3x dx=1 - 32/3z 、32 !19-I = OM 274.设产品的寿命X (以周计)服从瑞利分布，其概率密度为f (x) =1000Lei2/200x 0e其他(1)求寿命不到一周的概率;(2)求寿命超过一年的概率;(3)已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率1财 0.00498;解：(1) PX 2626100PX a26X 20 = 26PX 2020100-X2/200 ,e dx-276/200=ex_x2/200 .e dx0.25158。5. 设随机变量X的概率密度为1/8 0x2f(x) = x/8 2x40 其他求分布函数F(x)，并求P1壬x壬3 , PX X|X壬3。解：(1)F(x)=xf(x)dx =-HD0x1-dx0821 x x dx 十一 dx0828214 x dx + dx0828x : 0x _40x/8x2/161x ： 00x：22 三x：4x _4P1 x 3 =F (3) F(1)= 9/161/8=7/16 ;PXZ1|X3 = P31X3 = F (3) F(1)=7/9。PX 3F(3)6, 设随机变量(X, Y)的联合概率密度为f (x,y) =Ce42x 4y), x 0, y 00, 其他试确定常数C,并求PX2 , PXY , PX+Y2 = JJf (x,y)dxdy= Jdx J8e2x*y)dy = 2e2xdx 4eyde ； x 22020P X Y = f(x,y)dxdy= dx 8e2x 4y)dy = 2exdx 4e*dy = 2e&(1 - e*)dx = Zx y0000031 1 -x11 _xP X +Y 0时,fYiX (y I x)二f(x,y)fX(x)&y, y00,其他特别地，当x=0.5时fY|X (y | x = 0.5)=;0.5.5y.0,y0o其他-be-be(3) PY -11X = 0.5 =fY|X (y | x = 0.5)dy =0.5e5yd e5。118,设(X,Y)是二维随机变量，X的概率密度为f ，0x2fx(x) =6、0, 其他且当X =x(0 x 2)时Y的条件概率密度为M + xyfYix(y I x) = * + x/2, y *，、0,其他(1) 求(X,Y)联合概率密度；(2) 求(X,Y)关于Y的边缘概率密度；(3) 求在Y=y的条件下X的条件概率密度fXY(x|y)”1 +xy解：(1) f (x, y) = fX(x) fY|X (y | x) = 3i oC2-1 + xy2(2) fY(y)=f (x,y)dx= 0 3、一3(皿00x2, 0y1 .其他；y) 0y1.其他1 + xy m 2(3)当 0 y 1 时，9设随机变量X具有XfX|Y(x|y) = f* = fY(y)分布律-2-1,0、x、2 2(1+ y)。、0,其他013Pk求Y =X2 +1的分布律解：根据定义立刻得:Y1/51/6，并求DY与DX。到分布律为121/51/1511/30510Pk1/57/301/511/3010 (1)设随机变量X的概率密度为f(x)=xe_x 0其他求丫=。灭的概率密度。(2)设随机变量XU(1,1),求Y = (X+1)/2的概率密度。(3)设随机变量X N(0,1)，求Y = X2的概率密度。解：设X,Y的概率密度分别为fX(x), fY(y),分布函数分别为Fx(x),FY(y)。则fY(y)=0;=fx (y2),(1) 当 y0 时，FY(y)=PY 玄 y=PJ又 y=0,当 y A0时，FY(y) =PY y =P灰壬 y = PX My2fY(y) = FY(y)】 =2yfx(y2) =2y/所以，fY (y)=，2yey2 y 0o0 y E/c、1/2 1x1(2)此时fx(X 0其他=Fx (2y-1),因为 Fy(y) =PY y =P(X 1)/2 日 = PX Hy-1故，fY(y) = R(y)】=2fx(2y-1)=1, -12y-10时,FY(y) = PY & y = PX2 y = P-., y X 壬 y=中(/?)-(-而)=2%J)-1,故,fY(y)=FY(y)JfX(而未二岩。-y/2O1-y/2所以,e y 0fY(y严o其他。11.设随机变量XU (一1,1),随机变量Y具有概率密度fY(y) = y2)，_*y0 , X,Y相互独立。求Z=X+Y的概率密度。解：根据卷积公式，得二z,3fZ(z)=fY(y)fX(z- y)dy = byeTzdy = ：z2e”.所以Z = X +Y的概率密度为r.-. 3fz0fY( y