一级倒立摆的课程设计22020年4月19日文档仅供参考，不当之处，请联系改正。目录摘要31一阶倒立摆的概述41.1倒立摆的起源与国内外发展现状41.2倒立摆系统的组成51.3倒立摆的分类：51.4倒立摆的控制方法：51.5本文研究内容及安排61.6系统内部各相关参数为：62一阶倒立摆数学模型的建立72.1概述72.2数学模型的建立82.3一阶倒立摆的状态空间模型：112.4实际参数代入：123定量、定性分析系统的性能133.1，对系统的稳定性进行分析133.2 对系统的稳定性进行分析：154状态反馈控制器的设计164.1反馈控制结构164.2单输入极点配置174.3利用MATLAB编写程序205系统的仿真研究，校验与分析225.1使用Matlab中的SIMULINK仿真226设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。266.1观测器的设计思路：266.2利用MATLAB进行编程276.3状态观测器的仿真29小结32参考文献：33摘要倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。倒立摆也是机器人技术，控制理论，计算机控制等多个领域，多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定，多变量，强耦合的非线性系统。能够作为一个典型的被控对象对其进行研究。最初的研究开始于二十世纪50年代，专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图经过倒立摆的一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量，非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出好的控制方法。倒立摆不但仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。倒立摆的研究不但具有深刻的理论意义，还有重要的工程背景，在多种控制理论与方法的研究中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，当前，对倒立摆的研究也引起了国内外学者的广泛关注，是控制领域的热门课题之一。1一阶倒立摆的概述1.1倒立摆的起源与国内外发展现状倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工学院的控制理论专家根据火箭助推器原理设计出来一级倒立摆实验设备。倒立摆作为一个典型的不稳定，严重非线性例证被正式提出于二十世纪六十年代后期。国内，在倒立摆系统实验平台先后出现了多种控制算法。用状态空间法设计的比例微分控制器来实现单机倒立摆的稳定控制；利用最优状态调节器实现双电机三集倒立摆实物控制；用变结构方法实现倒立摆的控制。用神经网络的自学习模糊控制器的输入输出的对比，引起其它学者的关注，之后不断出现实时学习神经网络的方法来控制倒立摆。图1 一级倒立摆1.2倒立摆系统的组成倒立摆系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，传感器和倒立摆本体五部分构成。1.3倒立摆的分类：1，根据摆杆数目的不同，能够把倒立摆分为一级，二级和三级倒立摆等2，根据摆杆间连接形式不同，能够把倒立摆系统分为并联式倒立摆和串联式倒立摆；3根据运动轨道的不同，能够把倒立摆系统分为倾斜轨道倒立摆和水平轨道倒立摆；4根据控制电机的不同，能够把倒立摆分为多电机倒立摆和单电机倒立摆5根据摆杆与小车的连接方式不同，能够把倒立摆分为刚性摆和柔性摆6根据运动方式不同，能够把倒立摆分为平面倒立摆，直线倒立摆和旋转倒立摆。1.4倒立摆的控制方法：1）PID控制：该方法出现的最早，首先是对倒立摆系统进行力学分析，并在牛顿定律基础上得到运动方程，然后在平衡点附近对其进行线性化求出传递函数，最后在要求系统的特征方程应有全部左半平面的根的条件下，设计闭环系统控制器。2）状态反馈控制：极点配置法是在动态特性和稳态特性都满足的条件下，将多变量闭环倒立摆系统极点配置在期望的位置上，来设计状态反馈控制器3）线性二次型最优控制（LQR）LQR最优控制是经过寻找最佳状态反馈控制规律使期望的性能指标达到最小。1.5本文研究内容及安排倒立摆的控制算法多种多样，各种方法都有其各自的领域及重点，经过算法的比较，能够看出它们彼此之间的一些优缺点。本课程设计的被控对象采用固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统，选取稳定控制算法中的状态反馈极点配置设计，在分析了倒立摆的受力情况后，建立理论模型，由此推倒出系统的状态方程，而且对系统的性能进行定量、定性分析。配制出理想极点，设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应满足性能指标要求。对设计的系统进行仿真研究、校验与分析，设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。1.6系统内部各相关参数为：小车质量 0.5 Kg ；摆杆质量0.2 Kg ；小车摩擦系数0.1 N/m/sec ； 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；摆杆惯量0.006 kg*m*m ；采样时间0.005秒。2一阶倒立摆数学模型的建立2.1概述倒立摆系统其本身是自不稳定系统，实验建模存在一些问题和困难，在忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的运动的刚体系统，能够再惯性坐标系中运用经典力学对它进行分析，来建立系统动力学方程。在忽略掉了空气阻力和各种摩擦力之后，能够讲一阶倒立摆系统抽象成小车和均匀杆组成的系统，一阶倒立摆系统的结构示意图如下：图2 一阶倒立摆系统的结构示意图定义的参数为： 小车质量 摆杆质量 小车摩擦系数 摆杆惯量 加在小车上的力 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆转动轴心到杆质心的长度 摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下）得到小车和摆杆的受力图：图3 小车和摆杆的受力图2.2数学模型的建立运用牛顿定理分析受力得到下列方程：（2-1）由摆杆水平方向的受力进行分析能够得到下面等式： （2-2）求导得到： （2-3）代入第一个方程得到： （2-4）在摆杆垂直方向上的合力进行分析得到方程： （2-5） 即： （2-6）力矩平衡方程： （2-7）又因为为摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下），为摆杆与垂直向上方向的夹角，由和关系得合并这两个方程，约去 P和 N，得到第二个运动方程： （2-8）微分方程的建立：因为，假设 impulse(A,B,C,D）图4 系统脉冲响应由图可得，系统在单位脉冲的输入作用下，小车的位移和摆杆的角度都是发散的，同时，由以上程序的零极点得极点有一个大于零，因此系统不稳定。3.2 对系统的稳定性进行分析： A= 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0;B= 0 1.818182 0 4.545455;C= 1 0 0 0; 0 0 1 0;D= 0 0 ; Qc=ctrb(A,B); Qo=obsv(A,C); rank(Qc)ans = 4 rank(Qo)ans = 4因此系统为完全能观测和完全能控的。4状态反馈控制器的设计4.1反馈控制结构设系统为，其中x，u，y分别为n维状态变量，m维输入向量和p维输出向量；A,B,C分别为n*n，n*m，p*n矩阵当将系统的控制量u取成状态变量的线性函数u=v+Kx称之为线性直接状态反馈，其中v为m维参考输入向量，K为m*n矩阵，成为反馈增益矩阵。得到采用状态反馈后闭环系统的状态空间方程为：得出结论引入状态反馈后系统的输出方程没有变化，状态反馈将开环系统方程式中的系数矩阵A，变成了闭环系统状态方程中的（A+BK），特征方程从变为了，能够看出状态反馈后闭环系统的系统特征跟不但与系统本身的结构参数有关，而且与状态反馈增益矩阵K有关，正是利用这一点进行配置。4.2单输入极点配置控制系统的品质很大程度上取决于系统的闭环极点在复平面上的位置，因此在对系统进行综合讨论是，往往给出一组期望的极点，或根据时域指标提出一组期望的极点，所谓极点配置问题就是经过对反馈增益矩阵的设计，使闭环系统的极点处于复平面所期望的位置，以获得理想的动态特性。由于用状态反馈对系统进行极点配置只涉及系统的状态方程，与输出方程无关，因此设系统的状态方程为其中，是由n个复数组成的集合，如果A中的复数总是共轭成对出现，则称A