薄膜渗透率的测定一、引言某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它，从高浓度的浓度向低浓度的溶液 扩散的功能，在试制时需要测定薄膜被这种分子穿透的能力。测定方法如下：用 面积为S的薄膜将容器分为体积为？?的两部分，在两部分中分别注满该物质的 两种不同浓度的溶液。此时该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液 中扩散。通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系 数K表征了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时测量容器中薄膜某 一侧的溶液浓度值，以此确定 K的数值。二、模型建立本实例主要涉及微分方程和数据拟合参数（即参数辨识）的数学知识。1、假设1 ）薄膜两侧的溶液始终是均匀的，即在任何时刻膜两侧的每一处溶液的浓度 都是相同的。2 ）当两容器浓度不一致时，物质的分子穿透薄膜总是从高浓度溶液向低浓度 扩散。3 ）通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比。4）薄膜是双向同性的即物质从膜的任何一侧向另一侧渗透的性能是相同的。2、符号说明1）?） ?（?表示t时刻膜两侧溶液的浓度；2）?玄？表示初始时刻两侧溶液的浓度（单位：毫克/立方厘米）；3）K表示渗透率；4）?,?表示由薄膜阻隔的容器两侧的体积。VaLLLLVb1 L图1.1圆柱体容器被薄膜截面S阻隔3、分析渗透率和浓度差是本文所要求的关系量，先用质量守恒建立溶质间的渗透关系， 用微分方程，建立微分数学模型求t时刻薄膜两侧的浓度，体积差。最后通过数据 拟合，得出K的值。考察时段t,t+?薄膜两侧容器中该物质质量的变化。以容器 A侧为例，在该 时间段物质质量的增加量为？?(?- ?(?另一方面从B侧渗透至A侧的 该物质的质量为SK?- ?)?由质量守恒定律，两者应该相等，于是有?(?+ ? - ?w?= ?- ?)?(2.1)两边除以?令？?戸0并整理得? ? 帀?=方?- ?芻且注意到整个容器的溶液中含有该物质的质量应该不变，即有下式成立?(?)?+ ?)?= ?+ ?,?(?)?= ? +?-?9? 方?代入(2.1)得?i i帀 + SK(?+ 刊? =再利用初始条件？徹0) = ?，解出?+ ? ?(?- ?) -?(舟+ 舟)? ?+ ?+ ? ?SK(方+?)至此，问题归结为利用？?在时刻？的测量数据?(? 1,2,3, .?来辨别参数K和?,?,对应的数学模型变为求函数?E(K,?=刀(?况?？ - ?2 ? ?=i?+ ?a =?+ ? ，?=?(?- ?+ ?，问题转化为求函数io2 .?(+ )?E(K,a,?=刀?+? ? ? ?- ?=ii i L 式)？ ?的最小值点(K,a,?。4、最小二乘法简介给定平面上的点(？?,i=i,2,3,，求f(X)使? ?E ?=刀(?- ?2达到最小。其中？?w为点(?与曲线y=f(x)的距离。曲线拟合的实际含义是寻求 一个函数y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。三、求解参数例如，设?= 1000立方厘米，对容器的B部分溶液浓度的测试结果如表(3.1)表3.1? (秒)1002003004005006007008009001000?(X 10-5 )4.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59其中？?的单位为毫克/立方厘米此时极小化的函数10 E(K,a,?=刀?+?- ?2?=1用MATLAB软件进行计算。1 )编写程序fun2 = inline( x(1) + x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata), x ，tdata)其中 x(1)=a,x(2)=b,x(3)=k;tdata = lin space(100,1000,10);cdata =1e-05.*454 499 535 565 595 610 626 639 650 659;x0 = 0.2 0.05 0.05;x =Isqcurvefit(f un 2,x0,tdata,cdata)2) 输出结果X=0.007 -0.0030.1012即表示 K=0.1012, a=0.007 , b=-0.003进一步求出？?= 0.004 (毫克/立方厘米)，？?= 0.01(毫克/立方厘米).3) 拟合效果图编写程序tdata = lin space(100,1000,10);cdata =1e-05.*454 499 535 565 590 610 626 639 650 659;plot(tdata,cdata,o)hold on;grid on4) 结果分析从拟合曲线可以看出，利用 MATLAB软件求出的三个参数符合度比较高。 在MATLAB中，还有一种求解非线性数据拟合的语句。标准问题：minf(x) = ?x)2 + ?(x)2 + ?3(x)2 + ? + ?(x)2+ ?；其中 L为常数。 输入格式：x = leastsqC funxO)其中fun为?x)2(?= 1,2 .?)函数的M文件，xO为变量的初始值。四、参考文献1、董永文，刘进，最优化技术与数学建模，清华大学出版社。2、傅鹂，何中市，数学实验，科学出版社。3、 赵静，但琦，数学建模与实验(第二版)，高等教育出版社。五、个人体会一个学期的数值分析学习，使我有很多感悟。其中我感受最深的是数值分析 是一门重视算法与原理的学科，它的内容更接近于实际，像数值积分、数值微分、 求解线性方程组的解等等，使数学理论更加有实际意义。例如，以前从高等代数 上学习矩阵，认为无论多么复杂的矩阵，只要将它输入计算机就会轻易搞定。学 了数值分析才知道，对于有些矩阵这样做会产生严重的误差。显然数值分析的东 西更接近生活，接近实际。但是我们要避免在不完全理解某个算法的情况下，就 直接用这种算法解决问题，这样做就有些急功近利了。同时，我们要会运用这些理论知识去解决实际问题。首先将实际问题简化为 数学模型，接着就是数学分析软件的熟练使用，比如MATLAB软件，方便快捷。数值分析报告姓名：石亚光学号：S1401W0034学院：土木工程学院