1 层次分析法的思想：将所有要分析的问题层次化；根据问题的性质和所要到达的总目标， 将问题分为不同的组成因素，并按照这些因素间的关联影响即其隶属关系，将因素按不同层 次聚集组合，形成一个多层次分析结构模型；最后，对问题进行优劣比较排序.2次分析法的步骤：3 以一个具体案例进行说明：【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方 案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地 铁）。除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多 准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综 合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。 但问题绝不这么简单。通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效 益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互 关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以 有哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作 为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。很明显，这两个方案于所有准则都相关。将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。 同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D。代表不同层次，同一层 次从左到右用 1、2、3、4。代表不同因素。这样构成的递阶层次结构如下图。目标层 A准则层B准则层C措施层 D图 1 递阶层次结构示意图2. 构造判断矩阵（成对比较阵）并赋值根据递阶层次结构就能很容易地构造判断矩阵。构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断 矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第 一列。重要的是填写判断矩阵。填写判断矩阵的方法有：大多采取的方法是：向填写人(专家)反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个 元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值(重要性标度值见下表)。表1 重要性标度含义表重要性标度含 义135792, 4, 6, 8倒数表示两个元素相比，具有同等重要性 表示两个元素相比，前者比后者稍重要 表示两个元素相比，前者比后者明显重要 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要 表示两个元素相比，前者比后者极端重要 表示上述判断的中间值若元素I与元素j的重要性之比为a ,则元素j 与元素I的重要性之比为a =1/a1Jjiij设填写后的判断矩阵为A=(a )，判断矩阵具有如下性质：/、ij nXn(1) a 0(2) a =1/ ajiji(3) a =1根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写a =1 部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：a * a =a.k 当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则称该判断矩阵为一致性矩阵。【案例分析】市政工程项目建设决策：构造判断矩阵并请专家填写接前例，征求专家意见，填写后的判断矩阵如下：表2 判断矩阵表ABlB2B3B1C1C2B2C3C4B3C5C6B111/31/3C111C313C51RB211C21C41C6FB31ClD1D2C2D1D2C3D1D2C4D1D2DI15D113D111/5D11二D21D21D21D2nC5D1D2C6D1D2D111/5D111/3D21D213. 层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)对于专家填写后的判断矩阵，利用一定数学方法进行层次排序。 层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以本 质上是计算权向量。计算权向量有特征根法、和法、根法、幂法等，这里简 要介绍和法。和法的原理是，对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。 对于非一致性判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这n个列 向量求取算术平均值作为最后的权重。具体的公式是：1迟aW =j-1 naj=1 aklk=1 需要注意的是，在层层排序中，要对判断矩阵进行一致性检验。 在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并不 要求判断矩阵严格满足这一性质。但从人类认识规律看，一个正确的判断矩 阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如若A比B重要，B又比C重要，则 从逻辑上讲，A应该比C明显重要，若两两比较时出现A比C重要的结果， 则该判断矩阵违反了一致性准则，在逻辑上是不合理的。因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。 只有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行 分析。一致性检验的步骤如下。第一步，计算一致性指标 C.I. (consistency index)第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标R.I. (random index) 据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标R.I.。例如, 对于5阶的判断矩阵，查表得到R.I.=1.12表3平均随机 致性指标R.I.表(1000次正互反矩阵计算结果)矩阵阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41矩阵阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59第三步，计算一致性比例C.R. (consistency ratio)并进行判断R.I.当C.R.0.1时, 认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。【案例分析】市政工程项目建设决策：计算权向量及检验 上例计算所得的权向量及检验结果见下：表4 层次计算权向量及检验结果表A单(总)排序权值B1单排序权值B2单排序权值B3单排序权值B10.1429C10.5000C30.7500C50.7500B20.4286C20.5000C40.2500C60.2500B30.4286CR0.0000CR0.0000CR0.0000CR0.0000C1单排序权值C2单排序权值C3单排序权值C4单排序权值D10.8333D10.7500D10.1667D10.8750D20.1667D20.2500D20.8333D20.1250CR0.0000CR0.0000CR0.0000CR0.0000C5单排序权值C6单排序权值D10.1667D10.2500D20.8333D20.7500CR0.0000CR0.0000可以看出，所有单排序的C.R.0.1，认为每个判断矩阵的一致性都是可以接受的。4. 层次总排序(组合权向量)与检验(一致性检验)总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层(最上层)的相对权重。 这一权重的计算采用从上而下的方法，逐层合成。很明显，第二层的单排序结果就是总排序结果。假定已经算出第k-层 m个元素相对于总目标的权重w(k-i)=(w(k-i)，w(k-i),w(k-i)T,第k层n个元素 对于上一层(第k层)第j个元素的单排序权重是P(k)=(p(k),P (k),p (k)T, 其中不受j支配的元素的权重为零。令P(k)=(p(k),j2(k),：匕恋，表示第jk层 元素对第k-1层个元素的排序，则第k层元素对于总目标的总排序为：w(k)=(w (k),w (k),w (k) T= p(k) w(k-1)12n或 w“)= pj(k)w.(k-i) 1=1,2,，niij jj=1同样，也需要对总排序结果进行一致性检验。假定已经算出针对第k-1层第j个元素为准则的C.I.(k)、R.I. (k)和C.R., j=1,2,m,则第k层的综合检验指标J JJC.I. (k)=(C.I. (k)j1R.I. (k)=(R.I. (k)j1,C.I. (k) ,2,R.I. (k) ,2C.I. (k)w(k-1)mR.I. (k)w(k-1)mC.R.(k ) =C.I.(k)R.I.(k)当C.R. (k)0.1时，认为判断矩阵的整体一致性是可以接受的。【案例分析】市政工程项目建设决策：层次总排序及检验 上例层次总排序及检验结果见下：表5 C层次总排序(CR = 0.0000)表C1C2C3C4C5C60.07140.07140.32140.10710.32140.1071表6 D层次总排序（CR = 0.0000）D1D20.34080.6592可以看出，总排序的C.R.0.1，认为判断矩阵的整体一致性是可以接受的5. 结果分析通过对排序结果的分析，得出最后的决策方案。【案例分析】市政工程项目建设决策：结果分析从方案层总排序的结果看，建地铁（D2）的权重（0.6592）远远大于建高速路（D1） 的权重（0.3408），因此，最终的决策方案是建地铁。根据层次排序过程分析决策思路。对于准则层B的3个因子，直接经济效益（B1）的权重最低（0.1429）,社会效益（B2） 和环境效益（B3）的权重都比较高（皆为0.4286）,说明在决策中比较看重社会效益和环境 效益。对于不看重的经济效益，其影响的两个因子直接经济效益（C1）、间接带动效益（C2） 单排序权重都是建高速路远远大于建地铁，对于比较看重的社会效益和环境效益，其影响的 四个因子中有三个因子的单排序权重都是建地铁远远大于建高速路，由此可以推出，建地铁 方案由于社会效益和环境效益较为突出，权重也会相对突出。从准则层C总排序结果也可以看出，方便日常出行（C3）、减少环境污染（C5）是权 重值较大的，而如果单独考虑这两个因素，方案排序都是建地铁远远大于建高速路。由此我们可以分析出决策思路，即决策比较看重的是社会效益和环境效益，不太看重 经济效益，因此对于具体因子，方便日常出行和减少环境污染成为主要考虑因素，对于这两 个因素