平面向量一、本章知识结构:二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解 两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念， 掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量 的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理, 并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知 识解决实际问题的能力。三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1 .以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有 关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2 .以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何 中的常规题为主.3 .向量在空间中的应用(在B类教材中).在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示, 运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的 变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题, 有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分 点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本 章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应 立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分， 所以应用本章知识解决的问题也分为 两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知 识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三 角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换， 正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识， 并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切 结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数 学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一 方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。平面向量【例1】在下列各命题中为真命题的是()r-fe-fc fc-若 a=(xi,yi)、b=(X2,y2),则 a - b=xiyi+x2y2若 A(Xi,yi)、B(X2,y2),则 I AB I = V(Xi X2)2 (yi 肃*T f若 a=(xi,yi)、b =(X2,y2)则 a - b =0 XiX2+yiy2=0若a=(xi,yi)、b=(x2,y2),贝Ua，bxiX2+yiy2=0A、 B、C、 D、解：根据向量数量积的坐标表示；若 a=(xi,yi), b=(X2,y2),则3 b=xix2+yiy2,对 照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D),而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命 题，这样就以排除了(C),应选择(B)、说明：对于命题(3)而言，由于a - b =03 = 0或b=0或a，bXiX2+yiy2=0,故它是一个真命题、而对于命题(4)来讲，a bxiX2+yiy2=0、但反过来，当xiX2+yiy2=0时，可以是xi=yi=O,即3 = 0,而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此XiM+yiy2=0 a b),所以命题(4)是个假命题、【例2】 已知a=(V3,1), b =(1,由),那么a , b的夹角0 =()A、30B、60C、120D、150解：a - b=(- 3,-1) - (1, T3)= 273I a I = v( J3)2 ( 1)2 =2I b | =12(向2=2 f fla ?b2 33.cos0 =a?b=TT= T【例3】 已知a=(2,1), b=(1,3)若存在向量c使得：a c=4, b c = 9,试 求向量c的坐标、解：设c=(x,y),则由a c=4可得:2x+y=4;又由 b - c= 9 可得：x+3y= 9于是有：2x y 4(1)x 3y 9(2)由(1)+2(2)得 7y=- 14,4= 2，将它代入(1)可得：x=3.c=(3,2)、说明：已知两向量a, b可以求出它们的数量积a b,但是反过来，若已知向量a 及数量积ab,却不能确定b、【例4】 求向量a=(1,2)在向量6=(2, 2)方向上的投影、a?b有 cos。=F a ? b解：设向量a与b的夹角8、12 2(2)% 10“_22技( 2)2 =712 点D的坐标为(5, 5), AD的坐标为(一5, 5 ) 【例6】 设向量a、b满足： a | = | b 1 =1,且a + b=(1, 0),求a, b、解：I a I = I b | =1, .可设 a=(cos% ,sin% ), b =(cos3,sinB /a +b =(cos a +cos 3 ,sin a +sin B )=(1,0),a在b方向上的投影=| a | COS0 =75 X (【例5】已知 ABC的顶点分别为A(2, 1), B(3, 2), C(3, 1), BC边上的高AD ,求AD及点D的坐标、解：设点D的坐标为(x,y).AD是边BC上的高，/.ADXBC, /. AD BC又C、B、D三点共线，BC / BD又AD=(x2,y1), BC =(-6,-3)BD=(x 3,y2)6(x 2) 3(y 1) 0976(y 2) 3(x 3) 0解方程组，得 x= 5，y= 5cos a cos B 1(1)sin a sin 0 0(2)由(1)得：cos% =1 cos3(3)由(2)得：sin % = sin B(4)1 cos a =1 cosp =2士冬当2,321_L32 ,21 , 32，2【例7】对于向量的集合A= V=(x,y) 1 x2+y2w 1中的任意两个向量v；、v；与两个非负实数”B；求证：向量 V1 + B V2的大小不超过 +B、证明：设 =(x1,y。, V2二的曲根据已知条件有：x21+y21 1,x22+y22 1又因为I % V1+ (3 V2 | 二J(应1仪2)2(纳 的)2 二 J，(x12y12)32(x22n2)20&忆y1 y2)其中 X1X2+y1y20 Jx； y； Jx； y2 1所以 | vv1 + 3v2B 2a= %+3 =% + B【例 8】 已知梯形 ABCD 中，AB/CD, /CDA=/DAB=90 ,CD=DA=：AB、求证：ACXBC证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1n11则 A(0, 0)、B(2, 0)、C(1, 1)、D(0, 1)BC =(-1,1), AC =(1,1)BC AC = - 1 x 1+1 X 1=0.BSAC、【例9】 已知A(0, a),B(0,b),(0a0)贝UCA=( x,a), cb =( x,b)贝UCA - cb =x2+abcos/ ACB=CA?CBCA?CB工x2 ab2 a2 ,x2 b22. ab、a b2. abarccos、a b【例10 如图，四边形ABCD是正方形,P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明PA=EF(2)PAEF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为I OP I =入，则 A(0, 1), P(孝入,孝入)，E(1,F(停入，0)PA=( 一?入,1暂入),EF =(三入-1，-告入)令 t=x2+ab故 cos/ ACB=12 12-1ab(a b) 2 (a b) ?1t2t当1=，即t=2ab时，cos/ ACB最大值为-t 2ab当C的坐标为(v;0b ,0)时，/ ACB最大值为入)2+(1 孩入)2=入2正入+1I EF 2=(亭 x - 1)2+(-y 入)2=入2-V2 入+1二 | PA | 2= | EF | 2,故 PA=EF.2(2) PA EF =(-入)(三入-1)+(1 入)(- 入)=0PA EF.PL EF、【例 11】 已知 a (1,0),b (2,1).求|a 3b |；当k为何实数时，ka b与a 3b平行，平行时它们是同向还是反向?解：a 3b = (1,0) + 3(2,1) = (7,3), .a 3b | =,72 32 = . 58 .ka b = k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).k设 ka b = C(a 3bHMk 2, 1)=入(7,3),11313故卜=3时，它们反向平行.【例12】 已知|a| 2,|b| 1, a与b的夹角为铐若向量2akb与ab垂直，求k.1解：a b | a | b |cos=2X1 X-=1.32v 2a kb与a b垂直,.(2a kb) (a b)= 0,2a2 2a b kab kb2 0 k = 5.【例13】 如果 ABC的三边a、b、c满足b2 + c 2= 5a2,BE、CF分别为AC边与AB上的中线，求证：BEXCF.1 ， 1 - 一BE -(BA BC),CF - (CB CA)12 一BE CF ( BA BC AB AC BC CB 41 1 一 2 2 -.2 1 -2 2-(BA BC AC ) -(AB AC4221 一2 一2 一21222-(AB AC 5BC ) -(b c 5a )88CF,即 BEXCF .CA)2 21 - 2BC ) BC -(CA-22CB BA )0,满足PA