第三章 不等式一、选择题1已知x，则f(x)有( )A最大值B最小值C最大值1D最小值12若x0，y0，则的最小值是( )A3B C4D3设a0，b0 则下列不等式中不成立的是( )Aab2B(ab)()4CabD4已知奇函数f(x)在(0，)上是增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为( )A(1，0)(1，)B(，1)(0，1) C(，1)(1，)D(1，0)(0，1) 5当0x时，函数f(x)的最小值为( )A2 BC4D6若实数a，b满足ab2，则3a3b的最小值是( )A18 B6 C2 D27若不等式组，所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是( )ABCD 8直线x2y30上的点P在xy1的上方，且P到直线2xy60的距离为3，则点P的坐标是( )A(5，1)B(1，5)C(7，2)D(2，7)(第9题)9已知平面区域如图所示，zmxy(m0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m的值为( )AB CD不存在10当x1时，不等式xa恒成立，则实数a的取值范围是( )A(，2B2，)C3，)D(，3二、填空题(xy5)(xy)00x311不等式组 所表示的平面区域的面积是 x2y30x3y30，y1012设变量x，y满足约束条件 若目标函数zaxy(a0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围是 13若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是 14设a，b均为正的常数且x0，y0，1，则xy的最小值为 15函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为 16某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1，第三年比第二年增长的百分率为p2，若p1p2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为 三、解答题17求函数y(x1)的最小值18已知直线l经过点P(3，2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，当AOB面积最小时，求直线l的方程(第18题)19某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20(1)已知x，求函数y4x1的最大值；(2)已知x，yR(正实数集)，且1，求xy的最小值；(3)已知a0，b0，且a21，求的最大值参考答案1D解析：由已知f(x)， x，x20， 1，当且仅当x2，即x3时取等号2C解析：x2 x221，当且仅当x2，x时取等号；21，当且仅当y2，y时取等号；22(x0，y0)，当且仅当，y2x2时取等号1124，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当xy时原式取最小值43D解析：方法一：特值法，如取a4，b1，代入各选项中的不等式，易判断只有不成立方法二：可逐项使用均值不等式判断A：ab222，不等式成立B： ab20， 20，相乘得 (ab)( )4成立C： a2b2(ab)22ab(ab)222， 又，ab 成立D： ab2，即不成立4D解析: 因为f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，0Oyx110xf(x)0，满足x与f(x)异号的x的集合为所求(第4题)因为f(x)在(0，)上是增函数，且f(1)0，画出f(x)在(0，)的简图如图，再根据f(x)是奇函数的性质得到f(x) 在(，0)的图象由f(x)的图象可知，当且仅当x(1，0)(0，1)时，x与f(x)异号5C解析：由0x，有sinx0，cosx0f(x)24，当且仅当，即tan x时，取“” 0x， 存在x使tan x，这时f(x)min46B解析： ab2，故3a3b226，当且仅当ab1时取等号故3a3b的最小值是67A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分ABC由得A(1，1)，又B(0，4)，C(0，)由于直线ykx过点C(0，)，设它与直线3xy4的交点为D，则由SBCDSABC，知D为AB的中点，即xD， yD， k，k8A解析：设P点的坐标为(x0，y0)，则 解得 点P坐标是(5，1)9B解析：当直线mxyz与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解 kAC， m，即m 10D解析：由x(x1)1， x1， x10，则有(x1)1213，则a3二、填空题(第11题)1124解析：不等式(xy5)(xy)0可转化为两个二元一次不等式组(xy5)(xy)00x3xy50x y00x3xy50xy00x3 或 这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在图中A(3，8)，B(3，3)，C(0，5)，阴影部分的面积为2412解析：若zaxy(a0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线zaxy的倾斜角一定小于直线x2y30的倾斜角，直线zaxy的斜率就一定小于直线x2y30的斜率，可得：a，即a13ab9解析：由于a，b均为正数，等式中含有ab和ab这个特征，可以设想使用构造一个不等式 abab33，即ab3(当且仅当ab时等号成立)， ()230， (3)(1)0，3，即ab9(当且仅当ab3时等号成立)14()2解析：由已知，均为正数， xy(xy)()ababab2，即xy()2，当且仅当 即 时取等号158解析：因为yloga x的图象恒过定点(1，0)，故函数yloga(x3)1的图象恒过定点A(2，1)，把点A坐标代入直线方程得m(2)n(1)10，即2mn1，而由mn0知，均为正， (2mn)()448，当且仅当 即 时取等号16解析：设该厂第一年的产值为a，由题意，a(1p)2a(1p1)(1p2)，且1p10，1p20，所以a(1p)2a(1p1)(1p2)aa，解得p，当且仅当1p11p2，即p1p2时取等号所以p的最大值是三、解答题17解：令x1t0，则xt1，yt559，当且仅当t，即t2，x1时取等号，故x1时，y取最小值918解：因为直线l经过点P(3，2)且与x轴y轴都相交，xOAyP(3,2)B(第18题)故其斜率必存在且小于0设直线l的斜率为k，则l的方程可写成y2k(x3)，其中k0令x0，则y23k；令y0，则x3SAOB(23k)(3)12，当且仅当(9k)()，即k时，SAOB有最小值12，所求直线方程为y2(x3)，即2x3y120(第18题)19解：设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：A原料用量B原料用量甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y则有，目标函数z5x3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知当x3，y4时可获得最大利润为27万元.20解：(1) x， 4x50，故54x0y4x1(54x)4 54x2， y242，当且仅当54x，即x1或x(舍)时，等号成立，故当x1时，ymax2(2) x0，y0，1， xy()(xy)1021061016当且仅当，且1，即时等号成立， 当x4，y12时，(xy)min16(3)aaa，当且仅当a，即a，b时，a有最大值