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河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试(理科)必考部分一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则集合等于( )A B C D2. ,若,则等于( )A B C D3.数列为正项等比数列,若,且,则此数列的前5项和等于 ( )A B41 C D4. 已知、分别是双曲线的左、右焦点,以线段为边作正三角形,如果线段的中点在双曲线的渐近线上,则该双曲线的离心率等于( )A B C. D25.在中,“ ”是“”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件6.已知二次函数的两个零点分别在区间和内,则的取值范围是 ( )A B C. D7.如图,一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形,若该简单几何体的体积是,则其底面周长为( )A B C. D8.20世纪30年代,德国数学家洛萨-科拉茨提出猜想:任给一个正整数 ,如果是偶数,就将它减半;如果是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1,这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图,若输出的值为8,则输入正整数的所有可能值的个数为( )A3 B 4 C. 6 D无法确定9.的展开式中各项系数的和为16,则展开式中 项的系数为( )A B C. 57 D3310. 数列为非常数列,满足:,且对任何的正整数都成立,则的值为( )A1475 B1425 C. 1325 D127511.已知向量 满足,若,的最大值和最小值分别为,则等于( )A B2 C. D12.已知偶函数满足,且当时,关于的不等式在上有且只有200个整数解,则实数的取值范围是( )A B C. D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示:价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知,销售量与价格之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是,则 14.将函数的图象向右平移个单位(),若所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值是 15.已知两平行平面间的距离为,点,点,且,若异面直线与所成角为60,则四面体的体积为 16.已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点,是坐标原点,且满足,则的值为 三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图,已知关于边的对称图形为,延长边交于点,且,.(1)求边的长;(2)求的值.18.如图,已知圆锥和圆柱的组合体(它们的底面重合),圆锥的底面圆半径为,为圆锥的母线,为圆柱的母线,为下底面圆上的两点,且,.(1)求证:平面平面; (2)求二面角的正弦值19.如图,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先登上第3个台阶,他们规定从平地开始,每次划拳赢的一方登上一级台阶,输的一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳的次数为(1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率;(2)求的分布列和数学期望20.如图,已知为椭圆上的点,且,过点的动直线与圆相交于两点,过点作直线的垂线与椭圆相交于点(1)求椭圆的离心率;(2)若,求21. 已知函数,其中为自然对数的底数(参考数据: )(1)讨论函数的单调性;(2)若时,函数有三个零点,分别记为,证明:选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为,且经过点,以坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于两点,过点的直线与曲线相交于两点,且(1)平面直角坐标系中,求直线的一般方程和曲线的标准方程;(2)求证:为定值23.选修4-5:不等式选讲已知实数满足(1)求的取值范围;(2)若,求证:试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12:CC二、填空题13. 39.4 14. 15. 6 16. 三、解答题17.解:(1)因为,所以,所以因为,所以,所以,又,所以(2)由(1)知,所以,所以,因为,所以,所以18.解:(1)依题易知,圆锥的高为,又圆柱的高为,所以,因为,所以,连接,易知三点共线,所以,所以,解得,又因为,圆的直径为10,圆心在内,所以易知,所以因为平面,所以,因为,所以平面又因为平面,所以平面平面(2)如图,以为原点,、所在的直线为轴,建立空间直角坐标系则所以,设平面的法向理为,所以,令,则可取平面的一个法向量为,所以,所以二面角的正弦值为19.解:(1)易知对于每次划拳比赛基本事件共有个,其中小华赢(或输)包含三个基本事件上,他们平局也为三个基本事件,不妨设事件“第次划拳小华赢”为;事件“第 次划拳小华平”为;事件“第 次划拳小华输”为,所以因为游戏结束时小华在第2个台阶,所以这包含两种可能的情况:第一种:小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平;其概率为,第二种:小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为(2)依题可知的可能取值为2、3、4、5,所以的分布列为:2345所以的数学期望为:20.解:(1)依题知,解得,所以椭圆的离心率;(2)依题知圆的圆心为原点,半径为,所以原点到直线的距离为,因为点坐标为,所以直线的斜率存在,设为所以直线的方程为,即,所以,解得或当时,此时直线的方程为,所以的值为点纵坐标的两倍,即;当时,直线的方程为,将它代入椭圆的方程,消去并整理,得,设点坐标为,所以,解得,所以21.解:(1)因为的定义域为实数,所以当时,是常数函数,没有单调性当时,由,得;由,得所以函数在上单调递减,在上单调递增当时,由得,; 由,得,所以函数在上单调递减,在上单调递增(2)因为,所以,即令,则有,即设方程的根为,则,所以是方程的根由(1)知在单调递增,在上单调递减且当时,当时,如图,依据题意,不妨取,所以,因为,易知,要证,即证所以,又函数在上单调递增,所以,所以22.解:(1)因为直线的倾斜角为,且经过点,当时,直线垂直于轴,所以其一般方程为,当时,直线的斜率为,所以其方程为,即一般方程为因为的极坐标方程为,所以,因为,所以所以曲线的标准方程为(2)设直线的参数方程为(为参数),代入曲线的标准方程为,可得,即,则,所以,同理,所以23.解:(1)因为,所以当时,解得,即;当时,解得 ,即,所以,则,而,所以,即;(2)由(1)知,因为当且仅当时取等号,
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