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错误!未找到引用源“解排列、组合应用问题”的思维方法一、优先考虑:对有特殊元素(即被限制的元素)或特殊位置(被限制的位置)的排列,通常是先排特殊元素或特殊位置,再考虑其它的元素或其它的位置。例1.(1)由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有个。(3)5个人排成一排,其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有种。二、“捆”在一起:有要求元素相邻(即连排)的排列问题,可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列,然后“整体”内部再进行排列。例2.(1)有3位老师、4名学生排成一排照相,其中老师必须在一起的排法共有种。(2) 有2位老师和6名学生排成一排,使两位老师之间有三名学生,这样的排法共有种。三、插空档:有要求元素不相邻(即间隔排)的排列问题,可以制造空档插空。例3.(1)五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排,任两台电视机不靠在一起,有种陈列方法。(2)6名男生6名女生排成一排,要求男女相间的排法有种。四、减去特殊情况(即逆向思考):先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数,然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。例4.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。(2) 由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。(3) 集合A有8个元素,集合B有7个元素,AB有4个元素,集合C有3个元素且满足下列条件:C二AB,CA=门,CB=-的集合C有几个。(4)从6名短跑运动员中选4人参加4100米的接力赛,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少种参赛方案?五、先组后排:排列、组合综合题,通常都是先考虑组合后考虑排列。例5(1)用1、2、3、9这九个数字,能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有个。(2) 有8本不同的书,从中取出6本,奖给5位数学优胜者,规定第一名(仅一人)得2本,其它每人一本,则共有种不同的奖法。(3) 有五项工作,四个人来完成且每人至少做一项,共有种分配方法。六、除以排列数:对某些元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制排列后,再除去规定顺序元素个数的全排列。例6(1)有4名学生和3位老师排成一排照相,规定两端不排老师且老师顺序固定不变,那么不同的排法有种。(2) 由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字,十位数字小于百位数字,则这样的数共有个。(3) 书架上放有5本书(15册),现在要再插入3本书,保持原有的相对顺序不变,有.种放法。七、对象互调:有些排列或组合题直接就题论题很难入手,但换个角度去考虑便顺利求得结果又易理解。例7.(1)一部电影在四个单位轮放,每单位放映一场,可以有种放映次序。(2)排有8个座位,3人去坐,要求每人左右两边都有空位的坐法有种。(3)有6个座位3人去坐,要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。八、分情况研究:分情况研究(即分类计算)复杂的排列、组合综合题,常常通过画简图、按元素的性质“分类”;按事件发生的连续过程“分步”等方法。分情况研究求得结果,尤其对含数字“0”的排列,常分“有0”及“无0”两种情况研究,在“有0”时,排列的“首位”又是“特殊”位置要优先考虑。例&(1)从编号为了1、2、39的九个球中任取4个球,使它们的编号之和为奇数,再把这四个球排成一排,共有多少种不同的排法?(2)用0、1、2、39这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数字与两个偶数字的五位数有多少个?(3)用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中,若按从小到大的顺序排列23140是第几个数?排列与组合(思考方法18训练)优先考虑1现有6名同学站成一排:(1) 甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法?(2) 甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法?2. 用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的5位数,共可以组成多少个?3. 插空有6名同学站成一排:甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法?有4男4女排成一排,要求(1)女的互不相邻有种排法;(2)男女相间有种排法。4. 捆在一起由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数,其中2、3必须排在一起,4、5不能排在一起,则不同的5位数共有个。6有2位老师和6名学生排成一排,使两位老师之间有三名学生,这样的排法共有种。逆向思考7某小组有6名同学,现从中选出3人去参观展览,至少有1名女生入选时的不同选法有16种,则小组中的女生数为。&6名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法?先组后排9有4名学生参加3相不同的小组活动,每组至少一人,有种参加方式。10从两个集合儿,2,3,4和5,6,7J中各取两个元素组成一个四位数,可组成个数。除以排列数11书架上放有6本书,现在要再插入3本书,保持原有的相对顺序不变,有种放法。12. 9人(个子长短不同)排队照相,要求中间的最高,两旁依次从高到矮共有种排法。一. 对象互调:13. 某人射击8枪命中4枪,这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是。三个人坐在一排7个座位上,(1)若3个人中间没有空位,有种坐法。(2)若4个空位中恰有3个空位连在一起,有种坐法。分情况(即分类)15用0,1,2,3,4组成无重复数字的5位数,若按从小到大的顺序排列,则数12340是第个数。16. 某车间有8名会车工或钳工的工人,其中6人会车工,5人会钳工,现从这些工人中选出2人分别干车工和钳工,问不同的选法有多少种?九和、整除、倍数、约数问题。例9.和:(1)用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些三位数的和是多少?整除:(2)用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数,其中I、能被5整除的数有多少个?H、能被3整除的数有多少个?川、能被6整除的数有多少个?倍数:(3)在1、2、3100这100个自然数中,每次取不等的两数相乘,使它们的积是7的倍数,这样的取法共有多少种?(取7,11与取11,7认为是同一种取法)(4)在1、2、330这三十个数中,每取两两不等的三个数,使它们的和是3的倍数,共有多少种不同的取法?约数:(5)数2160共有多少个正约数(包括1和本身在内)?其中共有多少个正的偶约数?十、分配、分组问题:解题时要注意“均匀”与“非均匀”的区别、分配与分组(分堆)的区别。例10.(1)将12本不同的书I、分给甲、乙、丙三人,每人各得4本有种分法。n、平均分成三堆,有种分法。(2)7本不同的书I、全部分给6个人,每人至少一本,共有种不同的分法。n、全部分给5个人,每人至少一本,共有种不同的分法。(3)六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,若按下列分配方法,问各有多少种分法?a、甲一本、乙二本、丙三本;有种分法。b、一人一本、一人二本、一人三本;有种分法。c、甲一本、乙一本、丙四本;有种分法。d、一人一本、一人一本、一人四本;有种分法。排列与组合(思考方法全训练)一八:1.5名男生和2名女生站成一列,男生甲必须站在正中间,2名女生必须站在甲前面,不同的站法共有种(用数字作答)。2.8人排成一排,其中甲、乙、丙三人中有2人相邻,但这3人不同时相邻的排法有种.3现有6张同排连座号的电影票,分给3名老师与3名学生,要求师生相间而坐,则不同的分法数为.4.在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有种。5现从某校5名学生干部中选出4人分别参加上海市“资源”、“生态”、和“环保”三个夏令营,要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加,且每人只参加一个夏令营活动,5. 则不同的参加方案的种数是.(写出具体数字)将A、BCDE、排成一排,其中按AB、C顺序(即A在B前,C在B后)的排列总数为。532如果从一排10盏灯中关掉3盏灯,那么关掉的是互不相邻的3盏灯的方法有&(1)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种。(以数字作答)(2)同室4人各写了一张贺年卡先集中起来,然后每人从中取回一张别人送出的贺卡,这4张贺年卡不同的分配方式有种。17. 九和、整除、倍数、约数问题(1)由2、3、4、5组成无重复数字的四位数,求:这些数的数字之和;这些数的和。(2)由0、2、5、7、9这5个数字可组成多少个无重复数字且能被3整除的四位数?(1)在1、2、3、4、,、50这50个自然数中,每次取出2个(无论先后),使他们的积是13的倍数,这样的取法有多少种?(2)420共有多少个正约数?14175共有多少个正约数?十分配、分组问题:18. 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,若按下列分配方法,问各有多少种分法? 甲一本、乙二本、丙三本;有种分法。 一人一本、一人二本、一人三本;有种分法。 甲一本、乙一本、丙四本;有种分法。 一人一本、一人一本、一人四本;有种分法。19. 一般地,现有6n本不同的书, 分给甲、乙、丙三人,甲得n本、乙得2n本、丙得3n本,则有种分法。 分给三人,一人得n本、一人得2n本、另一人得3n本,则有种分法。 分给三人,甲、乙各得n本、丙得4n本,则有种分法。 分给三人,其中二人各得n本,另一人得4n本,则有种分法。 分成三堆,一堆n本、一堆2n本、一堆3n本,则有种分法。 分成三堆,有二堆各n本,还有一堆4n本,则有种分法。排列与组合(思考方法18训练)参考答案.优先考虑:1.(1)法一:(先考虑特殊元素甲)P4F5=480种;法二:(先考虑特殊位置头尾)P52P4=480种;(2)法一:P5(甲在尾)+p4p4p;(甲不在尾)=120+384=504;(或法二:P?_2p5+p4=504种);2先考虑首位再其它:cgpf=600。二插空:3.p3p;=144;4.(1)P4P54=2880;(2)2P4P4=1152。三.捆在一起:235.P2P2P3=24;6.P63P2P4=5760。四.逆向思考:7.令小组中的女生数为X,则:c:_C(3a=16=x=2;8.p6_p5=600。五.先组后排:9.cfPj=36;10.C4C32F4432。六.除以排列数:11P9/P6=504(即p=504);12.P8/(P4P4)=70。七.对象互调:13.P52=20;14.(1)C5P3=30;(2)P3Pf=72。八.分情况(即分类):15.卩3+巳+1=9;16.P32+C3c2+C3c5=27。排列与组合(思考方法全训练)参考答案一八:1.处3&)即:先前,再后);2.P5P32F62=21600;3.72;4.c2ooGO爲=;5.。紀和3=180(即:先组,再捆,后排);6.120;7.56;8.(1)2丹p3=72;(2)9.九.和、整除、倍数、约数问题17(1)由2、3、4、5组成无重复数字的四位数有P4个,而每一个数的各位数字之和都是2九357=17,所以所有四位数的数字之和是P4(2357)=408。 如2在个,十,百,千位上的情况各有P3次,同理3,5,7的情况与2相同,所以这些数的和为:P3(2357)(110-1001000)=113322。(2)不含2的有:p3p3=18;不含5的情况也为:P3P3=18,故共有36
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