动量矩定理12-1质量为的点在平面Oxy内运动，其运动方程为：mxa costyb sin 2t式中 a、 b 和为常量。求质点对原点O的动量矩。解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度vxdxasin tdtvydy2bcos2tdt质点对点 O的动量矩为LOM O (mv x )M 0 ( mvy )mvx ymvyxm ( asin t) b sin 2tm 2b cos2t a cos t2mabcos3t12-3如图所示， 质量为的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为，质心为， =mAC ACe；轮子半径为R，对轴心 A 的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅直线上。 （ 1）当轮子只滚不滑时，若vA 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。 （ 2）当轮子又滚又滑时，若 vA 、已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。解：（ 1）当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。轮子角速度v ARvA ( R质心 C的速度 vCBCe)R轮子的动量pmvCRe mvA （方向水平向右）对 B 点动量矩 LBRJB由于J BJCm (R e) 2JAme2m (R e) 2故LBJ Ame2m ( R e) 2 vARC点速度。（ 2）当轮子又滚又滑时由基点法求得vCvAvCAvAe轮子动量 pmvCm( vAe)（方向向右）对 B 点动量矩LBmvC BCJ Cm (vAe) (Re)( J Ame2 )mvA (Re)( J AmR e)12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm，无初速地沿倾角20的轨道滚下，设只滚不滑， 5 秒内轮心滚动的距离为s= 3 m 。试求轮子对轮心的惯性半径。解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（a）所示，根据刚体平面运动微分方程有maCmg sinF（1）JC= Fr（ 2）因轮子只滚不滑，所以有Cr（3）a =将式（ 3）代入式（ 1）、（ 2）消去 F 得到mr singJ C mr 2上式对时间两次积分，并注意到t = 0 时0,0 ，则mgrt 2 sinmgrt 2 singrt 2 sin2(JCmr 2 )2(m 2mr 2 )2( 2r 2 )把 r = 0.025 m及 t = 5 s时， sr3 m 代入上式得grt 2 sinr2gt 2 sin0.0259.8 52 sin 202r121 0.09 m 90 mm2s312-17图示均质杆 AB长为 l ，放在铅直平面内，杆的一端A 靠在光滑铅直墙上，另一端 B放在光滑的水平地板上，并与水平面成0 角。此后，令杆由静止状态倒下。求（1）杆在任意位置时的角加速度和角速度；（ 2）当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。解：（ 1）取均质杆为研究对象，受力分析及建立坐标系Oxy如图（ a），杆 AB作平面运动，质心在 C点。刚体平面运动微分方程为mxCFN A(1)myCFN Bmg(2)JCFN BlFN Alsin(3)cos22由于xClcos , yCl sin将其对间 t22,求两次导数，且注意到，得到xCl(sin2 cos)( 4)2yCl (cos2 sin)(5)2将式（ 4）、（ 5）代入式（ 1）、（ 2）中，得FN Aml (sin2 cos)2FN Bml (cos2 sin)mg2再将 F ， F 的表达式代入式（3）中，得NANBJ Cml 2(cos2 sin) cosmgl cosml 2( sin2 cos)sin424即J Cml 2mgl cos42把JCml 2代入上式得3g cos122l而ddt分离变量并积分得0d3g cos d02l3g (sin 0sin)l（ 2）当杆脱离墙时NA = 0 ，设此时1F则FN Aml (sin12 cos 1 )022 sin将和表达式代入上式解得sin 10321 arcsin( sin 0 )312-19均质实心圆柱体A 和薄铁环 B 的质量均为m，半径都等于r ，两者用杆AB铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为，如图所示如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。解：分别取圆柱A和薄铁环B 为研究对象，其受力分析如图（a）、（ b）所示，A 和B均作平面运动，杆AB作平动，由题意知AB,a AaBa, FTFT 。对圆柱 A有mamg sinFTF 1(1)F1 rJA(2)对薄铁环 B 有maTmgsinF2(3)F2 rJB( 4)联立求解式（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4），并将 J Am r 2 , J Bmr 2 , FTFT ，以及根据只2滚不滑条件得到的a =r 代入，解得FTFT1 mg sin（压力）及 a4 g sin7712-21图示均质圆柱体的质量为m，半径为 r ，放在倾角为 60的斜面上。 一细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定于点A，此绳与 A相连部分与斜面平行。若圆柱体与斜面间的摩擦系数为 f1aC。，试求其中心沿斜面落下的加速度3a）所示，圆柱作平面解：取均质圆柱为研究对象，其受力如图（运动，则其平面运动微分方程为J(FTF )r(1)