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第44讲立体几何中的向量方法(二)空间角与距离的求解(时间:45分钟分值:100分)1设平面的法向量为a(1,2,2),平面的法向量为b(2,4,k),若,则k等于()A2 B4C4 D222013银川一模 如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(0,2,1),b(,),那么这条斜线与平面的夹角是()A90 B60C45 D3032013沈阳一模 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为()A75 B60C45 D3042013兰州一模 在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的法向量为n(2,2,1),已知P(1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A4 B2C3 D152013长春一模 已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是 ()A. B. C. D.62013西宁一模 正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角ABD1B1的大小为()A60 B30C120 D15072013西安一模 已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),则ABC的重心坐标为()A. B.C. D.8在正方体A1B1C1D1ABCD中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC夹角的余弦值为()A BC. D.9在直三棱柱A1B1C1ABC中,BCA90,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BD1与AF1所成的角的余弦值是()A. B. C. D.10已知正方体ABCDA1B1C1D1,直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是_11如图K441,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,则点M到直线AD1距离的最小值是_图K441图K442122013郑州二模 如图K442所示,PA平面ABC,ACBC,PAAC1,BC,则二面角APBC的余弦值为_13在空间直角坐标系中,定义:平面的一般方程为:AxByCzD0(A,B,C,DR,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面的距离为:d,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心O到侧面的距离等于_14(10分)如图K443,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中点,已知AB2,AD2,PA2,求:(1)三角形PCD的面积;(2)异面直线BC与AE所成的角的大小图K44315(13分)如图K444甲,在直角梯形ABCD中,ABCD,BAD90,AB2,AD3,CD1,点E,F分别在AD,BC上,且AEAD,BFBC.现将此梯形沿EF折至使AD的位置(如图乙)(1)求证:AE平面ABCD;(2)求点B到平面CDEF的距离;(3)求直线CE与平面BCF所成角的正弦值图K44416(12分)2013长沙三模 如图K445,正ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC的中点,现将ABC沿CD翻折成直二面角ACDB.(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求异面直线AB与DE所成角的余弦值;(3)求二面角BACD的余弦值图K445课时作业(四十四)【基础热身】1C解析 ,(2,4,k)(1,2,2),2,k2,k4.2D解析 cos,因此所求的夹角为30.3C解析 如图,四棱锥PABCD中,过P作PO平面ABCD于O,连接AO,则AO是AP在底面ABCD上的射影,PAO即为所求线面角,AO,PA1,cosPAO,PAO45,即所求线面角为45.4B解析 d2.【能力提升】5C解析 如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),(2,0,4),(0,2,4),(0,0,4),设平面AB1D1的法向量为n(x,y,z),则即解得x2z且y2z,不妨设n(2,2,1),设点A1到平面AB1D1的距离为d,则d.6C解析 以D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图设A(1,0,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),则(1,1,0)为平面BB1D1的一个法向量设n(x,y,z)为平面ABD1的一个法向量则n0,n0,又(1,0,1),(0,1,0),取n(1,0,1)cos,n.,n120,结合图形知二面角ABD1B1的大小为120.7B解析 ABC的重心坐标为x4,y,z2.8D解析 如图建立直角坐标系Dxyz,设DA1,A(1,0,0),C(0,1,0),E.则(1,1,0),若异面直线DE与AC所成的角为,则cos|cos,|.9A解析 建立如图所示的坐标系,设BC1,则A(1,0,0),F1,B(0,1,0),D1,.cos,.10.解析 如下图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,0,1),设平面A1BD的一个法向量为n(x,y,z),则令x1得,n(1,1,1),设直线BC1与平面A1BD所成的角为,则sin|cos,n|,cos.11.a解析 设M(0,m,m)(0ma),(a,0,a),直线AD1的一个单位方向向量s0,由(0,m,am),故点M到直线AD1的距离d|2|s0|2),根式内的二次函数当m时取最小值aa2a2,故d的最小值为a.12.解析 以C为原点,CA为x轴,CB为y轴建立空间直角坐标系Cxyz,则A(1,0,0),B(0,0),C(0,0,0),P(1,0,1),(0,0,1),(1,1),(0,0),设平面APB的法向量为n1(x1,y1,z1),平面PBC的法向量为n2(x2,y2,z2),则取n1(2,0),n2(1,0,1)cosn1,n2.结合图形知二面角APBC的余弦值为.13.解析 如图,以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz,则A(1,1,0),B(1,1,0),P(0,0,2),设平面PAB的方程为AxByCzD0,将以上3个坐标代入计算得A0,BD,CD,平面PAB的方程为DyDzD0,即2yz20,d.14解:(1)PA底面ABCD,PACD,又CDAD,CD平面PAD,CDPD,又PD2,CD2,PCD的面积为222.(2)方法一:取PB的中点F,连接EF,AF,则EFBC,AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角在AEF中,EF,AF,AE2,AEF是等腰直角三角形,AEF,异面直线BC与AE所成的角大小为.方法二:如图所示,建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(2,2,0),E(1,1),(1,1),(0,2,0),设与的夹角为,则cos.又0,.故异面直线BC与AE所成的角的大小是.15解:(1)证明:由题意知AE1,DE2,AD,AE2AD2DE2.EAD90,即EAAD.又EAAB,ABADA,AE平面ABCD.(2)作AKDE于点K.由题知ABEF.AB平面CDEF,EF平面CDEF,AB平面CDEF.点B到平面CDEF的距离即为点A到平面CDEF的距离EFAE,EFED,EDEAE,EF平面AED,AK平面AED,AKEF.又AKDE,DEEFE,AK平面CDEF.AK的长即为点B到平面CDEF的距离在RtADE中,AK,点B到平面CDEF的距离为.(3)以点A为坐标原点,AD,AB,AE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,则B(0,2,0),C(,1,0),E(0,0,1),F,(,1,0),(,1,1),设平面BCF的法向量n(x,y,z),由可取n.设直线CE与平面BCF所成的角为,则sin.所以直线CE与平面BCF所成角的正弦值为.【难点突破】16解:(1)以D为坐标原点,如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,a),B(a,0,0),C(0,a,0),E,F.(a,0,a),从而,又AB平面DEF,EF平面DEF,故AB平面DEF.(2),DEF即为异面直线AB与DE所成的角(或其补角),cos,.异面直线AB与DE所成角的余弦值为.(3)n0(1,0,0)为平面ACD的一个法向量,设n(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,则naxaz0,nayaz0,取z1,则x1,y.n,从而cosn,n0.所以二面角BACD的余弦值为.9
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