线性代数应用实例求插值多项式右表给出函数f (t)上4个点的值，试求三次插值多项式P(t)二a0 + ait + at2 + a3t 3 ,并求f (1.5)的近似值。to123fL30-16解 令三次多项式函数P (t)二a0 + at + at2 + at3过表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：a=30a + a + a + a=00123a + 2a + 4a + 8a= - 10123a + 3a + 9a + 27a=60123对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入：得到xA=1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27, b=3;0;-1;6, s=rref(A,b)10003 0100-20010-2 00011得到 a = 3,a =一2,a =一2,a =1，三次多项函数为 p(t) = 3 - 2t - 2t2 +13，故f (1.5)近0 i23似等于 P(1.5)二 3 一 2(1.5) 一 2(1.5)2 + (1.5)3 =-1.125。在一般情况下，当给出函数f (t)在n+1个点t (i = 1,2,L , n +1)上的值f(t)时，就可 ii以用n次多项式P(t) = a + at + at2 + L + atn对f (t)进行插值。012n 在数字信号处理中的应用 数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为zf根据这样的结构图， 也可以用类似于例 7.4 的方法，求它的输入 输出之间的传递函数，在数字信号处理中称 为系统函数。图 1 表示了某个数字滤波器的结构图， 现在要求出它的系统函数,即输出y与输入u 之比。先在它的三个中间节点上标注信号的 名称x1,x2,x3,以便对每个节点列写方程。1/4z-1JZ-1-1/4X2 -3/8图1某数字滤波器结构图由于迟延算子z-i不是数，要用符号代替，所以取q=z-i,按照图示情况，可以写出:X = qx2 + 2u1x_ + u34(31)Xc = _ q _ 218 q 4 丿x3 = x1写成矩阵形式为x =-2 X11X+24L x3 -0u n x = Qx - Pu0(31)(8”4 丿0经过移项后，系统函数W可以写成：W = x/u = inv(I - Q)* P现在可以列写计算系统函数的MATLAB程序ea705，syms q% 规定符号变量Q(1,2)=q; Q(2,3)=3/8*q-1/4; Q(3,1)=1; % 给非零元素赋值Q(3,3)=0;%给右下角元素Q (3,3)赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零P=2;1/4;0%给 P 赋值W=inv(eye(3)-Q)*P% 用信号流图求传递函数的公式程序运行的结果为W = -16/(-8+3*qA2-2*q)-2*q/(-8+3*qA2-2*q)-2*(3*q-2)/(-8+3*qA2-2*q)-2/(-8+3*qA2-2*q)-16/(-8+3*qA2-2*q)-2*q/(-8+3*qA2-2*q)我们关心的是以y=x3作为输出的系统函数，故再键入pretty(W(3)整理后得到W (3)=上=-16-2q=u-8 + 3q 2 - 2q-1.5q 2 + q + 4 -1.5 z -2 + z -1 + 4用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。信号与系统课程中的应用线性时不变系统的零输入响应描述n阶线性时不变(LTI)连续系统的微分方程为dn ydn-1ydydmudua + a+A + a+ a y = b +A + b + b u,nm1 dt n2 dtn dtn+11 dt mm dtm+1已知y及其各阶导数的初始值为y(0), y(i)(0)，y(z(0)，求系统的零输入响应。解：当LTI系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解(即令微分方程等号 右端为0)，其形式为(设特征根均为单根)y(t) = C e p1t + C e p2t +A + C e pnt12n其中P, P2,，Pn是特征方程aiXn+a2Xn-i+ anX+ an+i=0的根，它们可用roots(a)12n12nn+1语句求得。各系数q,，Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有Ci+ 今+耳=y。y。= y(0)PiCi+ p2C2+ PnCn=Dy0(Dy。表示y的导数的初始值y(】)(0)-11A1 _C 11y0 1写成矩阵形式为p1p2APnC2Dy丿0MMOMMMpn-11pn-12Apn-1nCnD n-1 y0pn TC + pn TC +A + pn TC1122n n=D n-1 y0即V C = Y0,其解为C =VY0式中 C 二C , C 丄,C T; Y 二y ,Dy , L ,Dn-1 y t12n 000011AppAnMn-1n尸1尸2M MOpn-1pn-1A12V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵库中有vander函数可直接生成。 MATLAB程 序ea703.ma=input(输入分母系数向a=a1，a2，.=);n=length(a)-1;Y0=i叩ut(输入初始条件向量 Y0=y0，Dy0，D2y0，.=);p=roots(a);V=rot90(vander(p);c= VY0;dt=input(dt=); tf=input(tf= )严丫0=町0.6图 2 三阶系统的零输入响应fJiit=0:dt:tf; y=zeros(1,length(t);for k=1:n y= y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t，y)，grid程序运行结果用这个通用程序来解一个三阶系统,运行此程序 并输入a=3, 5, 7, 1;dt=0.2; tf=8;而Y0取1,0,0;0,1,0;0,0,1三种情况，用hold on语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图2。减肥配方的实现设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表,表中还给出了80年 代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。现在的问题是：如果用这三种食物作为每天 的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。营养每100g食物所含营养（g）减肥所要求的 每日营养量脱脂牛奶大豆面粉乳清蛋白质36511333碳水化合物52347445脂肪071.13设脱脂牛奶的用量为个单位（100g），大豆面粉的用量为x2个单位（100g），乳清的 用量为x3个单位（100g），表中的三个营养成分列向量为：则它们的组合所具有的营养为365113xa + x a + x a = x52+ x34+ x7411 2 2 3 3 102731.1365205134713741.1使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：36 5152 340713 _x133_74x2=451.1x31311Ax = b用MATLAB解这个问题非常方便，列出程序ag763如下：A=36,51,13;52,34,74;0,7,1.1 b=33;45;3 x=Ab程序执行的结果为：0.27720.39190.2332即脱脂牛奶的用量为27.7g,大豆面粉的用量为39.2g, 乳清的用量为23.3g,就能保证所 需的综合营养量。人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变 化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30% 的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？ 30 年、50年后又如何？这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即xxk= ck ,其中X为市区人口所占比例，X为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。在k Xcsskx0.3_c 0=x0.7s011k=0的初始状态：x0一年以后，市区人口为(1-0.02) xcn+0.06xn，郊区人口0.02X4+ (1-0.06)x0,c1c0s0s1c0s0用矩阵乘法来描述，可写成：x0.940.0210.31 0.29601x=1c1xs1=0.060.98_| 0.7= Ax =00.70400.021 r ii1二 u3iAu =2r0.94 0.021ri1_0.06 0.98_1-0.920.92二 0.92u2此关系可以从初始时间到k年,扩展为x广Ax二A2x = L二Akx0，用下列 kk1k 20MATLAB程序进行计算：A=0.94,0.02;0.06,0.98x0=0.3;0.7x1=A*x0,x10=AA10*x0x30=AA30*x0x50=AA5O*xO程序运行的结果为：x=r 0.29601, x =r 0.27i71, x =r 0.254i1,x=r 0.25081,i0.7040i00.7283300.7459500.7492 无限增加时间k,市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么这 个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘 以矩阵A的效果。选叫为稳态向量0.25,0.75t的任意一个倍数，令叫=1,3和u2=-1,1t。 可以看到，用A乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角(方向)：0.94Au =1 L0.06初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合;x=r0.301=0.25 -r1 1