福建师范大学21秋复变函数复习考核试题库答案参考1. 求由横轴和曲线y=arcsinx，y=arccosx围成图形的面积求由横轴和曲线y=arcsinx，y=arccosx围成图形的面积2. 1验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：1验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：y=c1+2c2x，y=2c2，代入方程后得 $y=3c1e3x+4c2e4x,y=9c1e3x+16c2x4x，于是 左边=9c1e3x+16c2e4x-7(3c1e3x+4c2e4x)+12(c1e3x+c2e4x) =e3x(9c1-21c1+12c1)+e4x(16c2-28c2+12c2) =0=右边$于所给函数关系xy=c1ex+c2e-x两边对x求导两次，得 xy+y=c1ex-c2e-x xy+2y=c1ex+c2e-x 注意到c1ex+c2e-x=xy，上面的第二个关系式便说明 xy+2y=xy 成立，即所给函数满足微分方程. 注意，此题亦可单独计算y，y，再代入微分方程中验证，但计算量较大$，y=4c1e2x+25c2e-5x，于是 =c1e2x(4+6-10)+c2e-5x(25-15-10)+2x =右边$于所给函数关系两边求导二次，有 解得，代入微分方程中： 3. 关于函数的连续性、可微性的正确结论是( ) A除两个点是第一类间断点外处处连续可导 Bf(x)在(-，+)连关于函数的连续性、可微性的正确结论是()A除两个点是第一类间断点外处处连续可导Bf(x)在(-，+)连续，仅有一个不可导点Cf(x)在(-，+)连续，仅有两个不可导点Df(x)处处可导C4. 用图解法解下面线性规划问题 max S=x1+x2用图解法解下面线性规划问题max S=x1+x2满足约束条件的点为如下图所示的阴影部分，其中BA和CD可延伸到无穷远，所以可行域无界作出等值线x1+x2=0，因为目标函数的截距式为x2=-x1+S(S前面符号为正号)，所以增值方向是使截距向上平移的方向由于可行域无界，所以等值线簇可以无限远离原点，目标函数无上界，从而该问题有可行解但无最优解 另外，由图可知，该线性规划问题有最小值的最优解，其对应点就是无界区域ABCD的一个顶点C(1，0)，此时最优值为1 5. 根据设计要求，某零件的内径的标准差不超过0.30 现从该产品中随机抽验了25件，测得其标准差S=0.36 问检验结根据设计要求，某零件的内径的标准差不超过0.30 现从该产品中随机抽验了25件，测得其标准差S=0.36 问检验结果是否说明产品的标准差明显增大了(=0.05)?由于未知期望，由题设可知0=0.30，n=25，S=0.36 据题意，提出假设如下 提出假设H0： 找统计量 求临界值对给定的=0.05，查2分布表， 求观察值计算得 作出判断因为2=34.5636.415，所以接受H0，即认为该产品的标准差没有明显增大 6. 求微分方程xy=y&39;-xy&39;2的通解求微分方程xy=y-xy2的通解方程属于y=f(x，y)型令y=p，则，方程化为伯努利方程 因此，可化为 解该方程，得 即 故 是方程的通解 7. 把一个多项式进行因式分解是有固定统一的方法，即辗转相除法。( )把一个多项式进行因式分解是有固定统一的方法，即辗转相除法。( )正确答案： 8. 函数f(x)可导是连续的必要非充分条件。( )函数f(x)可导是连续的必要非充分条件。( )正确答案： 9. 如果一条直线与它在仿射变换下的像重合，则称这条直线为的不动直线，求仿射变换的不动直线。如果一条直线与它在仿射变换下的像重合，则称这条直线为的不动直线，求仿射变换的不动直线。设(l)=l：ax+by+c=0,其中l:ax+by+c=0，即+c=0，=(a，b)，所以 = 即 且 再由 (ax+by+c=0)=l:ax+by+c=0 得不动直线为20x-5y-8=0和2x-2y-5=0。 10. 判断下列各式哪个成立哪个不成立，说明为什么(AB)一B=A；(AB)一B=A；正确答案：当AB互不相容时等式成立当A,B互不相容时,等式成立11. 设f(x)满足f(x)+f(x)g(x)-f(x)=0，其中g(x)为任一函数。证明：若f(x0)=f(x1)=0(x0x1)，则f(x)在x0设f(x)满足f(x)+f(x)g(x)-f(x)=0，其中g(x)为任一函数。证明：若f(x0)=f(x1)=0(x0x1)，则f(x)在x0，x1上恒等于0。正确答案：一定存在(x0x1)使f()=0则f()=f()；若f()0则f()0应为f(x)的极小值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾；若f()0则f()0应为f(x)的极大值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾。故只能f()=0即f()=0再对x0及x1应用以上结论反复使用知f(x)在x0x1上恒等于0。一定存在(x0,x1),使f()=0,则f()=f()；若f()0,则f()0,应为f(x)的极小值点,但f()0=f(x0)=f(x1),矛盾；若f()0,则f()0,应为f(x)的极大值点,但f()0=f(x0)=f(x1),矛盾。故只能f()=0,即f()=0,再对x0,及,x1应用以上结论,反复使用,知f(x)在x0,x1上恒等于0。12. f在a，b上为增函数，则f的导数f&39;L1a，b。( )A.正确B.错误参考答案：A13. 下列函数在区间-1，1上满足拉格朗日定理条件的是( ) A By=(x+1)(x-1) C D下列函数在区间-1，1上满足拉格朗日定理条件的是()ABy=(x+1)(x-1)CDB14. 设X，Y为拓扑空间，证明T：XY连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集设X，Y为拓扑空间，证明T：XY连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集证明记X，Y上的拓扑分别为X，Y 充分性 设BY，则令A=Bc，A是闭集，有T-1(A)是闭集于是T-1(B)=T-1(Ac)=T-1(A)cX，这表明T连续 必要性 设T连续，A是闭集，则AcY，从而T-1(A)c=T-1(Ac)X这表明T-1(A)是X的闭集 15. 设f(x)是正值连续函数，f(0)=1，且对任何x0，曲线y=f(x)在区间0，x上的一段弧的弧长总是等于由过x轴上点x，且设f(x)是正值连续函数，f(0)=1，且对任何x0，曲线y=f(x)在区间0，x上的一段弧的弧长总是等于由过x轴上点x，且垂直于x轴的直线及x轴，y轴与这段弧所围成的曲边梯形的面积求这条曲线的方程16. 对原始资料审核的重点是_。对原始资料审核的重点是_。资料的准确性17. 设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨设生产某产品每天的固定成本为10 000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨时，总成本为10 320元，问：日产量为多少吨时，能使平均成本最低?并求最低平均成本(假定日产量最高产量为100吨)正确答案：设日产量为x吨rn由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10 000因为当x=20时C(20)=k(20)3+10 000=10 320rn解得比例系数k=004rn故C(x)=004x3+10 000x0100rn于是平均成本函数令rn解得唯一驻点x=50因为所以函数在x=50时取到极小值也是最小值rn故当日产量为50吨时可使平均成本最低最低平均成本设日产量为x吨,由题意总成本函数C(x)=C1(x)+C0=kx3+10000因为,当x=20时,C(20)=k(20)3+10000=10320解得比例系数k=004,故C(x)=004x3+10000,x0,100于是,平均成本函数令解得唯一驻点x=50因为所以,函数在x=50时取到极小值,也是最小值,故当日产量为50吨时可使平均成本最低,最低平均成本18. 设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=cos，y=sin，验证，从而 =(fxcos+fysin)2+(-sinfx+cosfy)2 =fx2cos2+fy2sin2+2sincosfxfx +fx2sin2+fy2cos2-2sincosfxfy 19. 在下列方程中，y=y(x)是由方程确定的函数，求y&39;： (1)ycosx=e2y (2)y2+1=exsiny在下列方程中，y=y(x)是由方程确定的函数，求y：(1)ycosx=e2y(2)y2+1=exsiny(1)(2)20. 过半径为R的圆周上一点0任意作圆的弦0A，0A与直径0B的夹角X服从均匀分布。求所有这些弦长AB的平均长度及弦长A过半径为R的圆周上一点0任意作圆的弦0A，0A与直径0B的夹角X服从均匀分布。求所有这些弦长AB的平均长度及弦长AB的方差设弦长AB=Y，则Y=2R|sinX|，由于，所以X的概率密度为，由函数的期望公式求得；EY2=2R2；21. 设曲线y=x3ax与曲线y=bx2c在点(1，0)处相切，其中a，b，c为常数，则( ) (A) a=b=1，c=1 (B) a=1，b2，c=设曲线y=x3+ax与曲线y=bx2+c在点(-1，0)处相切，其中a，b，c为常数，则()(A)a=b=-1，c=1(B) a=-1，b-2，c=-2(C)a=1，b=-2，t=2(D)a=c=1，b=-122. 甲、乙两人对策。甲手中有3张牌：2张K，1张A。甲任意藏起一张后然后宣称自己手中的牌是KK或KA，对此乙可以接受或甲、乙两人对策。甲手中有3张牌：2张K，1张A。甲任意藏起一张后然后宣称自己手中的牌是KK或