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天津市南开中学2017届高三第五次月考数学(文)试题第卷一、选择题:本大题共8个小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足:,则( )A B C D2. 函数的一个零点所在区间为( )A B C D3. 若,则( )A B C D 4. 若,则直线被圆所截得的弦长为( )A B C. D5. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为( ) A B C. D6. 如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是在第二、四象限的公共点,若四边形为矩形,则的离心率是( )A B C. D7. 设,若,则最大值为( )A B C. D8.设,则对任意实数是的 ( )A充分必要条件 B 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件第卷二、填空题(将答案填在答题纸上)9.已知全集, ,则 10. 如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 11.设函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有,可以用随机模拟方法近似计算由曲线及直线所围成部分的面积,先产生两组(每组个)区间上均匀随机数和,由此得到个点,再数出其中满足的点数,那么由随机模拟方法可得的近似值为 12.已知是首项为的等比数列,是它的前项和,且,则数列的前项和为 13.如图,在四边形中,是等边三角形,则的值为 14.已知函数,对任意的,不等式恒成立,则实数取值范围为 三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;(2)在中,分别为角所对的边,若,求的值.16. 某家具厂有方木料,五合板,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料、五合板;生产每个书橱需要方木枓、五合板.出售一张书桌可获利润元,出售一个书橱可获利润元,怎样安排生产可使所得利润最大?最大利润为多少?17. 如图,直三棱柱中,是棱的中点,.(1)证明:;(2)求二面角的大小.18. 椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率,过直线椭圆于两点,且的周长为.(1)求椭圆的方程;(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点.试探宄:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.19. 已知数列的前项和为正整数). (1)令,证明数列是等差数列;(2)求数列的通项公式;(3)令.是否存在最小的正整数,使得对于都有恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.20. 已知函数. (1)当时,求函数的单调区间;(2)若函数有两个极值点,且,证明.天津市南开中学2017届高三第五次月考数学(文)试题参考答案一、选择题1-4:DBAB 5-8: DDCA 二、填空题9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题15. 解:(1),由,得,故的单调增区间为. (2),又,.16. 解:设生产书桌张,书橱个,利润总额为元.则,可行域如图.由图可知:当直线经过可行域上的点时,截距最大,即最大,解方程组得的坐标为,(元).因此,生产书桌张,书橱个,可使所得利润最大,最大利润为元.17. 解:(1)依题设条件,在中,由,易知,同理可得,从而可得.又依题设平面,于是有.(2)如图,取的中点,连接.由知,从而有等腰三角形三线合一定理,即知,又平面平面,则平面.从而有,而已知,连结,由可知,则即是二面角的平面角,设,则;由(1)知有,又,故平面,于是,求得.在中,即二面角的大小为.18. 解:(1)设,则的周长为.故椭圆的方程为.(2)由对称性可知设与,由,得,则,得,此时,即,又,若存在定点满足条件,则当平行轴时,圆也过定点,此时得或,由图形对称性知两圆在轴过相同的交点,点必在轴上.设,则对式的恒成立.易得,得,故存在定点,使得以为直径的圆恒过点.参考:,直线,对恒成立,得.19. 解:(1)在中,令,可得,即.当时,即,即当时,. 又,所以数列是首项和公差均为的等差数列. (2)于是.(3)由(2)得,所以,由(1)-(2)得,故的最小值是.20. 解:.(1)当时,令,有或,当或时,;当时,.所以的单调递增区间为和,单调递减区间为.(2)由于有两个极值点,则有两个不相等的实根,所以,即,设,则,在上单调递减,所以,即 .- 1 -
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