天津市南开中学2017届高三第五次月考数学（文）试题第卷一、选择题：本大题共8个小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足：，则（ ）A B C D2. 函数的一个零点所在区间为（ ）A B C D3. 若，则（ ）A B C D 4. 若，则直线被圆所截得的弦长为（ ）A B C. D5. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ） A B C. D6. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A B C. D7. 设，若，则最大值为（ ）A B C. D8.设，则对任意实数是的 （ ）A充分必要条件 B 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件第卷二、填空题（将答案填在答题纸上）9.已知全集， ，则 10. 如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 11.设函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算由曲线及直线所围成部分的面积，先产生两组（每组个）区间上均匀随机数和，由此得到个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得的近似值为 12.已知是首项为的等比数列，是它的前项和，且，则数列的前项和为 13.如图，在四边形中，是等边三角形，则的值为 14.已知函数，对任意的，不等式恒成立，则实数取值范围为 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，分别为角所对的边，若，求的值.16. 某家具厂有方木料，五合板，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料、五合板；生产每个书橱需要方木枓、五合板.出售一张书桌可获利润元，出售一个书橱可获利润元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？17. 如图，直三棱柱中，是棱的中点，.（1）证明：；（2）求二面角的大小.18. 椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过直线椭圆于两点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.试探宄：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.19. 已知数列的前项和为正整数）. （1）令，证明数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）令.是否存在最小的正整数，使得对于都有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，且，证明.天津市南开中学2017届高三第五次月考数学（文）试题参考答案一、选择题1-4:DBAB 5-8: DDCA 二、填空题9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题15. 解：(1),由，得，故的单调增区间为. (2),又，.16. 解：设生产书桌张，书橱个，利润总额为元.则，可行域如图.由图可知：当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大，解方程组得的坐标为，（元）.因此，生产书桌张，书橱个，可使所得利润最大，最大利润为元.17. 解：(1)依题设条件，在中，由，易知，同理可得，从而可得.又依题设平面，于是有.(2)如图，取的中点，连接.由知，从而有等腰三角形三线合一定理，即知，又平面平面，则平面.从而有，而已知，连结，由可知，则即是二面角的平面角,设，则；由（1）知有，又，故平面，于是，求得.在中，即二面角的大小为.18. 解：(1)设，则的周长为.故椭圆的方程为.(2)由对称性可知设与，由，得，则，得，此时，即，又，若存在定点满足条件，则当平行轴时，圆也过定点，此时得或，由图形对称性知两圆在轴过相同的交点，点必在轴上.设，则对式的恒成立.易得，得，故存在定点，使得以为直径的圆恒过点.参考：，直线，对恒成立，得.19. 解：(1)在中，令，可得，即.当时，即，即当时，. 又，所以数列是首项和公差均为的等差数列. (2)于是.（3）由（2）得，所以，由（1）-(2)得，故的最小值是.20. 解：.(1)当时，令，有或，当或时，；当时，.所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.(2)由于有两个极值点，则有两个不相等的实根，所以，即，设，则，在上单调递减，所以，即 .- 1 -