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初一数学竞赛讲座第1讲 数论的方法技巧(上)数论是研究整数性质的一个数学分支,它历史悠久,而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明,“很多数论问题可以从经验中归纳出来,并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚,但要证明它却远非易事”。因而有人说:“用以发现天才,在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生,如能把当今任何一本数论教材中的习题做出,就应当受到鼓励,并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中,数论问题总是占有相当大的比重。数学竞赛中的数论问题,常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有:1带余除法:若a,b是两个整数,b0,则存在两个整数q,r,使得a=bq+r(0rb),且q,r是唯一的。特别地,如果r=0,那么a=bq。这时,a被b整除,记作b|a,也称b是a的约数,a是b的倍数。2若a|c,b|c,且a,b互质,则ab|c。3唯一分解定理:每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即其中p1p2pk为质数,a1,a2,ak为自然数,并且这种表示是唯一的。(1)式称为n的质因数分解或标准分解。4约数个数定理:设n的标准分解式为(1),则它的正约数个数为:d(n)=(a1+1)(a2+1)(ak+1)。5整数集的离散性:n与n+1之间不再有其他整数。因此,不等式xy与xy-1是等价的。下面,我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题,若能合理地选择整数的表示形式,则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有:1十进制表示形式:n=an10n+an-110n-1+a0;2带余形式:a=bq+r;42的乘方与奇数之积式:n=2mt,其中t为奇数。例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张,每张上写有1个数字,小明将这4张卡片如下图放置,使它们构成1个四位数,并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是1998。问:红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字?解:设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3,a2,a1,a0,则这个四位数可以写成:1000a3+100a2+10a1+a0,它的各位数字之和的10倍是10(a3+a2+a1+a0)=10a3+10a2+10a1+10a0,这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是:990a3+90a2-9a0=1998,110a3+10a2-a0=222。比较上式等号两边个位、十位和百位,可得a0=8,a2=1,a3=2。所以红色卡片上是2,黄色卡片上是1,蓝色卡片上是8。例2 在一种室内游戏中,魔术师请一个人随意想一个三位数(a,b,c依次是这个数的百位、十位、个位数字),并请这个人算出5个数与的和N,把N告诉魔术师,于是魔术师就可以说出这个人所想的数。现在设N=3194,请你当魔术师,求出数来。解:依题意,得a+b+c14,说明:求解本题所用的基本知识是,正整数的十进制表示法和最简单的不定方程。例3 从自然数1,2,3,1000中,最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除?解:设a,b,c,d是所取出的数中的任意4个数,则a+b+c=18m,a+b+d=18n,其中m,n是自然数。于是c-d=18(m-n)。上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数,即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r,则a=18a1+r,b=18b1+r,c=18c1+r,其中a1,b1,c1是整数。于是a+b+c=18(a1+b1+c1)+3r。因为18|(a+b+c),所以18|3r,即6|r,推知r=0,6,12。因为1000=5518+10,所以,从1,2,1000中可取6,24,42,996共56个数,它们中的任意3个数之和能被18整除。例4 求自然数N,使得它能被5和49整除,并且包括1和N在内,它共有10个约数。解:把数N写成质因数乘积的形式:N=由于N能被5和72=49整除,故a31,a42,其余的指数ak为自然数或零。依题意,有(a1+1)(a2+1)(an+1)=10。由于a3+12,a4+13,且10=25,故a1+1=a2+1=a5+1=an+1=1,即a1=a2=a5=an=0,N只能有2个不同的质因数5和7,因为a4+132,故由(a3+1)(a4+1)=10知,a3+1=5,a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2,a4+1=5,即N=52-175-1=574=12005。例5 如果N是1,2,3,1998,1999,2000的最小公倍数,那么N等于多少个2与1个奇数的积?解:因为210=1024,211=20482000,每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘,其中2的个数不多于10个,而1024=210,所以,N等于10个2与某个奇数的积。说明:上述5例都是根据题目的自身特点,从选择恰当的整数表示形式入手,使问题迎刃而解。二、枚举法枚举法(也称为穷举法)是把讨论的对象分成若干种情况(分类),然后对各种情况逐一讨论,最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类,分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质,降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类,按奇偶性分类及按数值的大小分类等。例6 求这样的三位数,它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。分析与解:三位数只有900个,可用枚举法解决,枚举时可先估计有关量的范围,以缩小讨论范围,减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x,y,z。由于任何数除以11所得余数都不大于10,所以x2+y2+z210,从而1x3,0y3,0z3。所求三位数必在以下数中:100,101,102,103,110,111,112,120,121,122,130,200,201,202,211,212,220,221,300,301,310。不难验证只有100,101两个数符合要求。例7 将自然数N接写在任意一个自然数的右面(例如,将2接写在35的右面得352),如果得到的新数都能被N整除,那么N称为魔术数。问:小于2000的自然数中有多少个魔术数?解:设P为任意一个自然数,将魔术数N(N2000接后得,下面对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。当N为一位数时,=10P+N,依题意N,则N10P,由于需对任意数P成立,故N10,所以N=1,2,5;当N为两位数时,=100P+N,依题意N,则N100P,故N|100,所以N=10,20,25,50;当N为三位数时,=1000P+N,依题意N,则N1000P,故N|1000,所以N=100,125,200,250,500;当N为四位数时,同理可得N=1000,1250,2000,2500,5000。符合条件的有1000,1250。综上所述,魔术数的个数为14个。说明:(1)我们可以证明:k位魔术数一定是10k的约数,反之亦然。 (2)这里将问题分成几种情况去讨论,对每一种情况都增加了一个前提条件,从而降低了问题的难度,使问题容易解决。例8 有3张扑克牌,牌面数字都在10以内。把这3张牌洗好后,分别发给小明、小亮、小光3人。每个人把自己牌的数字记下后,再重新洗牌、发牌、记数,这样反复几次后,3人各自记录的数字的和顺次为13,15,23。问:这3张牌的数字分别是多少?解:13+15+23=51,51=317。因为1713,摸17次是不可能的,所以摸了 3次, 3张扑克牌数字之和是17,可能的情况有下面15种:1,6,10 1,7,9 1,8,8 2,5,10 2,6,9 2,7,8 3,4,10 3,5,9 3,6,8 3,7,7 (11)4,4,9 (12)4,5,8 (13)4,6,7 (14)5,5,7 (15)5,6,6只有第种情况可以满足题目要求,即3+5+5=13;3+3+9=15;5+9+9=23。这3张牌的数字分别是3,5和9。例9 写出12个都是合数的连续自然数。分析一:在寻找质数的过程中,我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数:90,91,92,93,94,95,96。我们把筛选法继续运用下去,把考查的范围扩大一些就行了。解法1:用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数:114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126。分析二:如果12个连续自然数中,第1个是2的倍数,第2个是3的倍数,第3个是4的倍数第12个是13的倍数,那么这12个数就都是合数。又m+2,m+3,m+13是12个连续整数,故只要m是2,3,13的公倍数,这12个连续整数就一定都是合数。解法2:设m为2,3,4,13这12个数的最小公倍数。m+2,m+3,m+4,m+13分别是2的倍数,3的倍数,4的倍数13的倍数,因此12个数都是合数。说明:我们还可以写出13!+2,13!+3,13!+13(其中n!=123n)这12个连续合数来。同样,(m+1)!+2,(m+1)!+3,(m+1)!+m+1是m个连续的合数。三、归纳法当我们要解决一个问题的时候,可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况,从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想,从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法。例10 将100以内的质数从小到大排成一个数字串,依次完成以下5项工作叫做一次操作:(1)将左边第一个数码移到数字串的最右边;(2)从左到右两位一节组成若干个两位数;(3)划去这些两位数中的合数;(4)所剩的两位质数中有相同者,保留左边的一个,其余划去;(5)所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。问:经过1999次操作,所得的数字串是什么?解:第1次操作得数字串711131131737;第2次操作得数字串11133173;第3次操作得数字串111731;第4次操作得数字串1173;第5次操作得数字串1731;第6次操作得数字串7311;第7次操作得数字串3117;第8次操作得数字串1173。不难看出,后面以4次为周期循环,1999=4499+3,所以第1999次操作所得数字串与第7次相同,是3117。例11 有100张的一摞卡片,玲玲拿着它们,从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作:把最上面的第一张卡片舍去,把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去,把下一张卡片放在最下面。反复这样做,直到手中只剩下一张卡片,那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张?分析与解:可以从简单的不失题目性质的问题入手,寻找规律。列表如下:设这一摞卡片的张数为N,观察上表可知:(1)当N=2a(a=0,1,2,3,)时,剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张,即第2a张;(2)当N=2a+m(m2a)时,剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。取N=100,因
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