削M蚱 中考要求知识点A要求B要求C要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将 一元二次方程化为一般形式，并 指出各项系数；了解一元二次方 程的根的意义能由一元二次方程的概 念确定二次项系数中所 含字母的取值范围；会由 方程的根求方程中待定 系数的值一元二次方程 的解法理解配方法，会用直接开平方 法、配方法、公式法、因式分解 法解简单的数字系数的一元二 次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一 元二次方程；会用方程的 根的判别式判别方程根 的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次 方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定 系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的 变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题W蚱 知识点睛一、一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式 ：ax2 bx c 0 (a 0) , a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项. 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式. 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数. 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2 .任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax2 bx c 0 a 0 .要特别注意于关于 x的方程ax2 bx c 0,当a 0时，方程是一元二次方程；当 a 0且b 。时，方程是 一元一次方程.关于x的一元二次方程式ax2 bx c 0 a 0的项与各项的系数.2ax为二次项，其系数为 a； bx为一次项，其系数为 b； c为常数项.二、一元二次方程的解法1 . 一元二次方程的解法：直接开平方法：适用于解形如 (x a)2 b (b 0)的一元二次方程.配方法：解形如 ax2 bx c 0 (a 0)的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：二次项系数化1.常数项右移.配方（两边同时加上一次项系数一半的平方） 化成（x m）2 n的形式.若n 0,选用直接开平方法得出方程的解.公式法:设一元二次方程为ax2bx c 0 a 0 ,其根的判别式为:b20 方程ax2 bx c 0 a 0有两个不相等的实数根x120 方程ax2 bx c 0 a 0有两个相等的实数根x1加4ac, x1,x2是方程的两根，则:bb4ac2a 上.2a方程ax2bx c 0 a 0没有实数根.若 为完全平方式，同时若a、b、c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根;b Jb2 4ac是2a的整数倍，则方程的根为整数根.运用公式法解一元二次方程的一般步骤是: 把方程化为一般形式 确定a、b、c的值.计算b2 4ac的值.若b2 4ac 0,则代入公式求方程的根.若b2 4ac 0,则方程无解.因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式.2 . 一元二次方程解法的灵活运用 直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法. 因式分解法：适用于右边为 0 （或可化为0）,而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字 母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法. 公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算b2 4ac的值. 直接开平方法：用于缺少一次项以及形如ax2 b或x a 2 bb0或22ax b cx d的方程，能利用平方根的意义得到方程的解.（4）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的.把一元二次方程的一般形式 ax2 bx c 0 ( a、b、c 为常数，a方法为：22 bb2b2ax bx c a x - x 2c a4a4a0）转化为它的简单形式22b 4ac b a x2a 4a所以方程ax2 bx c 0 （a、b、c为常数，a 0）就转化为a x 22即x旦b一警，之后再用直接开平方法就可得到方程的解.2a4a2Ax22aB ,这种转化方法就是配方，具体4ac b24a的形式,三、可化为一元二次方程的特殊方程解方程的基本思想：化分式方程为整式方程化高次方程为一次或二次方程化多元为一元化无理方程为有理方程总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程.解方程的基本方法：解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法.解分式方程：一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法.解无理方程：一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法.目W蚱 例题精讲一、一元二次方程的定义_2【例1】m为何值时，关于x的方程(m，2)xm (m 3)x 4m是一元二次方程.【例2】已知方程2xa xb x2 4 0是关于x的一元二次方程，求 a、b的值.【例3】已知关于x的方程(a 2)x2 ax x2 1是一元二次方程，求a的取值范围.【例4】已知关于x的方程(x a)2 (ax 2)2是一元二次方程，求 a的取值范围.【例5】若x2ab 3xa b 1 0是关于x的一元二次方程，求a、b的值.【例6】已知方程2xa b xab ab 0是关于x的一元二次方程，求a、b的值.【例7】若一元二次方程(m 2)x2 3(m2 15)x m2 4 0的常数项为零，则 m的值为二、一元二次方程的解法1 .直接开平方法2 2【例8】 解关于x的万程：2x 3 3x 2一,，、，一 ，、122【例9】 解关于x的万程：4 2x 59 3x 1【例10解关于x的方程：4(x 2)2 (3x 1)2 0【例11解关于x的方程：5x2 125 02【例12解关于x的方程：2(3x 1)852.配方法【例15】用配方法解方程：x2 6x 4 0【例16】用配方法解方程：2x2 3x 1 0【例17】用配方法解方程：x2 4x 2 0【例18】用配方法解方程：2x2 8x 1 0【例19】用配方法解方程：x2 4x 2 0【例20】用配方法解方程：x2 1x 1 063【例21】用配方法解方程：3y2 1 273y【例22】用配方法解方程：x2 2x 5 0【例23】用配方法解方程：y2 5y 1 0【例24】用配方法解方程：2y2 4 y 3【例25】用配方法解方程x2 4x 2 0【例26】用配方法解方程：ax2 bx c 0 （a、b、c为常数且a 0）【例27】配方法解方程： x2 mx n 0【例28】用配方法解关于x的方程x2 px q 0 （ p, q为已知常数）3 .公式法【例29】解方程x2 x 1 0【例30】用公式法解方程：5x2 7x 2 0【例32】用公式法解方程：3x2 6x 2【例33】用公式法解方程：p2 3 2新【例34】用公式法解方程：9n2 5n 2【例35】解方程3x2 5(2x 1) 0【例36解方程(x 5)(x 7) 11【例37】斛万程x(6x 1) 4x 3 2(2x -)【例38解方程：x2 x 1 0【例39】解方程：(x 5)(x 7) 11【例40】解万程：x(6x 1) 4x 3 2(2 x -) 2【例41】解方程：3x2 72x 2 04 .因式分解法 2【例42】用因式分解法解万程：x 3 4x x 3 0【例43】用因式分解法解方程：x2 3mx 2m2 mn n2 0 ( m、n为常数)【例44】用因式分解法解方程：1x2 9 04【例45】用因式分解法解方程：8x2 10x 3 0【例46】因式分解法解方程：6x2 3点x 2屐x而例48 例49】例50 例51】例52】例53 例54 例55 例56 例57 例58 例59】例60 例61】例62】例63 例64 解方程3x2 4x 4 0解方程：3(x 5)2 2(5 x)解方程：(2x 1)2 3 6x解方程 2 x2 5x 6 0 . 3解方程x2 6x 7 0解方程 3x(x 5) 14(x 5)解方程：(4x 2)2 x(2x 1)9(x 2)2 16(x 1)2 0解关于x的方程x2 2mx m2 n2 0解关于x的方程x2 3a2 4ax 2a 1解关于x的方程：x2p2 q2 x pq p q p q解方程(2x 1)2 3 6x解方程 9(x 2)2 16(x 1)2 0解方程：3x2 4x 4 0解方程(4x 2)2 x(2x 1)解方程 3(x 5)2 2(5 x)2例 67解方程：y3 y(3 2y) y(3y 1) 323【例68解方程：(3x 4)2 (2x 3)2【例69】解方程：(x 2)2 2x 45 .换元法【例70解方程(x 5)2 (x 5) 4三、含字母系数的一元二次方程的解法【例71解方程：mx2 (3m2 2)x 6m 0【例72解方程mx2 (3m2 2)x 6m 02【例73】斛关于x的方程：(m 1)x(2m 1)x m 3 0 .【例74解关于x的方程：a2(x2 x 1) a(x2 1) (a2 1)x四、含绝对值的一元二次方程的解法【例75解方程：x2 5 x 6 0 .【例76解方程：x x 3 x 2 0【例77】绝对值方程(x 2)(x 3)| 4 |x 1的不同实数解共有 个.【例78】已知关于x的方程x2 2x 2 m恰有三个实数根，求 m的值.【例79】方程|x - 码的实根的个数为 x x【例80】设方程x2 2x 1 4 0 .求满足该方程的所有根之和.【例81 请阅读下列材料：问题：已知方程x2 x 3 0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为 y,则y 2x.所以x y22把x y代入已知方程，得 -30222化简，得y2 2y 12 0.故所求方程为y2 2y 12 0 .这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为换根法”.请用阅读材料提供的 换根法”求新方程（要求：把所有方程化为一般形式）： 已知方程x2 x 1 0 ,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使 它的根分别是已知方程根的倒数； 已知关于x的方程x2 mx n 0有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方 程根的平方.【例82】解方程x4 6x2 5 0,这是一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是: 设x2 y,那么x4 y2,于是原方程可化为 y2 6y 5 0，解这个方程得 当 y 1