自动化车床管理的最优解决方案摘要本文解决的是自动化车床管理中检查间隔和刀具更换策略的最优化问题，我们对题目中所给数据用Excel进行了统计分析，并通过卡方拟合检验法进一步验证出现故障时生产的零件数服从正态分布，为此我们分别对以下三个问题建立概率模型来求解。对于问题一：该问题属于优化问题中的概率数理统计问题，通过Excel对表格中的数据进行数据统计分析，我们发现故障发生时所完成的零件数符合正态分布，因此我们建立连续型随机事件模型并用MATLAB解出每个零件损失费用最小值为 ，即换刀次数为359件，检查间隔为18件时为最优策略。对于问题二：分析得刀具故障符合正态分布概率密度曲线，因此可以建立一个随机模型。在一个换刀周期内要么每次抽到合格品，要么换刀之前抽到次品。每次抽到合格品又可以分两种情况，即工序正常时抽到98%的合格品和工序故障时抽到40%的合格品；换刀前抽到次品又可分为两种情况，即工序故障时抽到60%不合格品和工序正常时抽到2%不合格品。我们把工序正常时抽到2%不合格品整合到前三种情况中，最后通过MATLAB求得最优解，即损失费用 。当换刀次数为287件，检查间隔为72件时获得最好的效益。对于问题三：在第二问的基础上，我们将检查策略改为：若抽到正品则认为机器正常，抽到次品则连续抽查两次，可以减小每个零件损失的期望值。最后，分别对模型一，模型二对样本均值与样本方差以及概率方面进行灵敏度分析，并比较了这些量的改变对每个零件损失期望值的影响。 关键词： 正态分布 概率模型 数理统计 灵敏度分析1问题的重述1.1自动化车床管理的现状 目前中国机床产业仅仅在规模方面具有相对比较优势，与机床制造强国相比，在结构、水平、研发和服务能力等方面都还存在明显的差距。但有些行业如铁路、航空、能源等行业对机床依然有较大需求，尤其是汽车制造行业开始回升。随着制造业市场需求的变化、产品升级需求的释放、“振兴规划”和“重大专项”政策的出台，产品结构在不断优化，机床行业将出现结构性复苏机会。1.2本文需要解决的问题 一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%。工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。 已知生产工序的费用参数如下： 故障时产出的零件损失费用 f=200元/件； 进行检查的费用 t=10元/次； 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000元/次(包括刀具费)； 未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000元/次。 1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。 2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。3）在2)的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益。 附:100次刀具故障记录(完成的零件数)45936262454250958443374881550561245243498264074256570659368092665316448773460842811535938445275525137814743888245388626597758597556496975156289547716094029608856102928374736773586386996345555708441660610624841204476545643392802466875397905816217245315125774964684995446457645583787656667632177153108512.模型的假设与符号说明2.2模型的假设假设一：工序出现故障是完全随机的，假定在生产任何一零件时出现故障的机会均相等。假设二：由于刀具损坏故障比率较大，则忽略其它故障对计算结果的影响。假设三：更换刀具和发现故障进行调节使恢复正常使用，这两者都看做一个周期，之后又是另外一个周期的开始。假设四：题中所给的数据都是通过实验论证，正确合理并且没有错误。假设五：对于某一个刀具的寿命可以近似用该点的概率密度表示。假设六：因误判而停机只有误判停机损失费，它的一个周期没有结束。 2.2符号说明符号符号说明故障时产出的零件损失费用进行检查的费用发现故障进行调节使恢复正常的平均费用未发现故障时更换一把新刀的费用工序正常而误认有故障停机产生的损失费用刀具损坏故障的概率密度函数第种情况该事件发生的概率每个零件损失费用的期望值一个周期内损失费用的期望总和第种情况损失费用的期望和一个周期内生产合格零件的期望值第种情况生产合格零件的期望值第种情况损失的费用第种情况生产的合格零件数每生产个零件换一次刀具即换刀周期每生产个零件检查一次换刀前出现故障时生产的合格零件数一次换刀周期的检查次数工序出现故障时产出不合格品的概率工序正常时产出合格品的概率3.数据的分析与假设检验通过对100次刀具故障记录的完成零件数观察研究及用Excel处理验证，可以估计刀具故障分布函数，其服从正态分布，根据记录数据求出了，则有发现这100次刀具故障时完成的零件数近似服从的正态分布。 我们就大胆的假设这100次刀具故障数据近似服从正态分布，再用卡方拟合检验法来进一步验证。我们用来作为检验统计量。我们假设刀具使用寿命近似服从的正态分布，：表示总体的分布函数是；：表示总体的分布函数不是；若，则成立，即假设成立；若，则成立，即假设不成立；分析题中所给数据可以知道：的最小值为84，最大值为1153，我们可以把这110个数据从83.5到1153.5分成10组，每组间隔，用Excel画出频数直方图如上。数出落在每个小区间的数据频数，算出，得到如下表所示：卡方分布检验正态分布表格组限频数频率83.5-190.530.030.01455.758.52190.5-297.540.040.0430297.5-404.570.070.09699.695.06404.5-511.5160.160.164116.4115.6511.5-618.5250.250.213121.3129.33618.5-725.5200.200.199819.9820.02725.5-832.5130.130.143314.3311.79832.5-939.570.070.07837.836.26939.5-1046.530.030.03084.75.321046.5-1153.520.020.016210011100101. 9其中计算得：1. 9通常我们取，则11.071故有，因此在水平0.05下我们接受，即总体X的正态分布函数。由此我们得出刀具寿命X服从正态分布。4.问题的分析通过对车床故障数据的数理统计我们发现车床出现故障时所产生的零件数符合正态分布函数，车床的故障来自于95%刀具故障和来自于5%其它故障这两方面因素所致，此外对于另外5%的其它故障由于概率较小，可以当做小概率事件，暂时忽略。本文求解损失效益最小情况下，安排合理的检查间隔与换刀策略。分析得知车床出现故障时所产生的零件数符合正态分布函数，因此可以建立一个随机模型来解决损失最小的优化问题。最后使在一个换刀周期内，损失费用的总期望值与生产合格产品的总期望值比值最小。在一个确定的换刀周期内，分析易得这个周期内只会出现两种情况：要么每次抽到合格产品要么在换刀之前抽到次品。求出两种情况下损失的费用再分别求出两事件发生的概率，即为损失费用的总期望值。同理可以求出一个周期内生产合格产品的总期望值。对于问题一：分析得刀具故障符合正态分布概率密度曲线，因此可以建立一个随机模型。在一个刀具更换周期内，题中假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品。那么只有两种情况换刀前机器正常或换刀之前机器故障。易计算这情况下的每个零件损失期望值的表达式，最后在MATLAB中编程求出符合题意的最优解。对于问题二：分析得刀具故障符合正态分布概率密度曲线，因此可以也建立一个随机模型。但题中假设该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品，而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。总体求解思路不变，在一个换刀周期内要么每次抽到合格品，要么换刀之前抽到次品。各种情况方框图表示为：由于单独考虑第4种情况会比较复杂，但分析得前三种情况包含第4种情况的一小部分，因此可以把第4种分别放在前三种情况中考虑，最后在MATLAB中编程求出符合题意的解。对于问题三：同理可以建立一个随机模型，在问题二的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益。在第二问求解时，我们抽查零件时都是等间距的。分析得刀具故障数据近似服从正态分布，也就是说在开始的一段时间内零件出现故障的概率较小，随后加大。因此等间距检测就出现弊端，所以我们考虑不等间距检测，依据刀具故障数据正态分布函数，开始检测间距大一些，之后检测间距小一些。或每次检测连续检查两次，可以大大减小抽到次品和误判而停机的概率。5.问题一的解答5.1随机模型的建立 5.1.1确定目标函数：通过对问题一的分析我们确立了目标函数 每个零件的损失费用的期望值为一个周期内损失费用的期望总和与生产合格零件的期望值之比，越小则获得的效益越高，的最小值表达式为： 对于损失费用的期望总和为换刀前不出现故障的损失费用期望和和换刀前出现故障的损失费用期望和之和。而损失费用的期望为损失费用与此事件发生概率的乘积： 同理得到换刀前生产合格零件的期望值的表达式为： 第一种情况即换刀之前没有出现故障的损失费用期望值，为检查费用和换刀费用之和再乘以该事件发生的概率，表达式为： 所以 第二种情况即换刀之前出现故障的损失费用期望值，为检查费、故障维修费和零件损失费三者之和再乘以该事件发生的概率，其表达式为： 事件概率为第个零件恰好为坏的