简单的三角恒等变换（一）张掖中学 宋娟一、教学目标知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进 行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用；过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体 会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力； 情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等 数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力.二、教学重、难点教学重点：利用公式进行简单的恒等变换； 教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法.四、教学类型：新授课.五、教学内容复习引入（学生组织完成）问题 1：和差角的正弦、余弦、正切公式（六个）；问题 2：二倍角的正弦、余弦、正切公式（三个）；问题 3：二倍角的变形公式（四个）.新课讲解nnn思考1（学生组织完成）：如何用cos n表示sin2、cos2、an2 一222分析：观察n与-的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的2 变形公式.nn解：n是一的二倍角.在倍角公式cos2n= 1 -2sin2n中，以n代替2n，以一代22n即得 cos n = 1 - 2sin2 ，2n 1 - cosn 所以sm2=2 2在倍角公式cos2n = 2cos2 n-1中，以n代替2n，ncos n= 2cos2 -1，2n 1+cosn所以cos2=.2 2将两个等式的左右两边分别相除，即得n1 - cosntan2=.21+cosnnnn思考2：若已知cosn，如何计算sin 、cos 、an？2 2 2.a , ：1 一 cos aa , 1 + cos aa , ；1 一 cos asin = 、cos = 、tan ii_222221 + cos a（半角公式）强调：“ 土 ”号由-所在象限决定.2例1 ：已知sin a ，且叟a兀，132求吨的值.因为 sin a 且 a兀cos a -1321213例2证明兀兀a兀ay又 a 兀,. 024222由公式吨-1 一 cos a 得 tan 1 + cos a 21 -(-)13 1 ( 12、 1 + (-)13-府513asin a1 一 cos a求证tan 21+cosasinatan2 a cos 2利用例2的结论，再做一下例11a cos a cos -2cosa2cos21 + cos a2222aaaaasin 2sin 2-2sin -22sin 2 2 1 - cos asinaaasin - 2cos 一22 _ sinaa tan a 叫3兀例 3 已知 sin 20 , 0 20 52aasinacos - 2sin -22比较两种方法.02cos2- sin0 -1求 2-2 sin(0 + 叟)4sinaa分析：由降幂公式知2cos2 1 + cos a ,故有2原式=cos0 - sin 0 cos0 +sin0cos 0 +1 - sin 0 -1迈耳心0+寻血0)此处有两种处理方法：方法一、由已知求出cos0sin0的值，带入*式计算，即可得到结果;方法二、由*继续变形，将半角化为倍角进行计算.解法一cos 0 +1 - sin 0 -1cos 0 - sin 0丿原式*迈(空cos 0+sin 0) cos 0+ sin 0 22兀兀由0 20 0 0 0,sin 0 02 43 兀4由 sin 20 = ,0 20 得 cos 20 =525又 cos 20 = 1 - 2sin 2 0 = 2cos 2 0 -1 a 顷 n 3価sin 0 =,cos 0 =10 10带入*式得3丽丽_*= 10 10 - 2、10 _ 1* 3何丄何呎帀 210 + 10解法二原式cos0 +1 -sin0 -1cos0 -sin0八工迈(逼 cos 0+Xlsin 0)cos 0+ sin 0(cos0 - sin0 )2(cos 0 + sin 0 )(cos 0 - sin 0)1 - 2sin 0 cos01 - sin 20 *cos2 0 - sin2 0cos2034由 sin 20 ,0 20 得 cos 20 _ 525带入*式得1- 32*=15 _ 5_ 14 425 5小结：对于例 3，我们从不同角度出发，解法一先利用倍角计算半角，再带入求 值，解法二先利用半角化为倍角，再带入求值.在三角恒等变换中,正所谓“条条 大路通罗马”.在以后的学习当中，此类问题是三角恒等变换中常见的问题. 万丈高楼平地起，在此告诫同学们，基础知识的理解和必要的记忆是很重要的， 所以在以后的学习中，不管题目如何变化，都有一个固定的解题理论，那就是我 们的倍角公式，及其逆用，掌握好了基础的理论知识，不管题目如何变化，我们 都能将他们各个击破.所谓“咬定青山不放松，任尔东南西北风”. 下面我们来分小组讨论一下这一个问题：（练一练）化简 sin2 a - sin2 卩 + cos2 a - cos2 卩一 -cos 2a - cos 2卩.2分析：1. 从“角”入手,倍角化半角;2. 从“幂”入手,利用降幂公式将次;3. 从“形”入手,利用配方法.本题目至少有6 种解法，请同学们讨论完成. 课堂小结三个数学方法1. 从“角”入手,倍角化半角（半角化倍角）;2. 从“幂”入手,利用降幂公式将次（利用升幂公式升次）;3. 从“形”入手,利用配方法（分母有理化、分子有理化）. 两个人生哲理1. 条条大路通罗马;2. 咬定青山不放松，任尔东南西北风.布置作业习题 3.2A 组 1（1）、（2）、（4）、（5）课后反思