正定矩阵集上的凹性定理（孝感学院 数学系021113132，湖北 孝感432100）摘 要：本文将数学分析中的凹（凸）函数概念拓广到正定矩阵集上，给出了Minkovski不等式的一种简单证法，进而证明了本文的主要结果：对任意正定矩阵、及，有.关键词：正定矩阵；凹性定理；Minkovski不等式A Concavity Theorem Of PositiveDefinite Matrix SetLU Lan-qiu (Dept.Math.,XiaoGan University 021113132,XiaoGan 432100,HuBei)Abstract:In this paper,we generalize the concave functions conception of mathematical analysis to the positive definite matrix set,we also give a simple proof of Minkovski inequality,and then prove the major conclusion: For any positive definite matrix 、and，we have .Key words:Positive definite matrix; Concavity theorem;Minkovski inequality.0 引言矩阵的行列式是矩阵中的一个重要概念，它在线性方程组和矩阵的特征值等方面有相当重要的地位，人们对于有关矩阵的行列式不等式已经得到了一些漂亮的结果，比如Minkovski不等式1： （1）本文将给出这个不等式的一种新证法，适用于更广泛的一类矩阵，还有Fanky凹性定： （2）利用不等式的一个重要性质：几何平均值不小于算术平均值，由不等式（1），可得，进一步化为 （3） 对（3）两边取对数，得到 （4）能否将（4）推广到更一般的结果，即若、为正定矩阵，对任意的，是否有 （5）本文将证明这一结论，同时将数学分析中的凹（凸）函数概念进行推广，定义正定矩阵集上的凹（凸）函数，最后考虑了给出正定矩阵集上的凹函数的一些应用本文将建立关于正定矩阵的几个引理，借助这些结论，用一种较为初等的方法证明正定矩阵的Minkovski不等式，最后证明我们的主要结果，即：定理对任意正定矩阵、及，有 （6）本文用表示实数域，用、分别表示是矩阵的转置和行列式，用表示所有矩阵构成的线性空间基本概念定义13设是实对称矩阵，如果对所有非零的，有则称为正定二次型，而称为正定矩阵.实对称矩阵是正定矩阵有多种等价定义形式，几种常见的等价命题是3：引理13设为级实对称矩阵，则下列命题等价：()为正定矩阵；()合同于单位矩阵；()的所有顺序主子式全大于零；()的正惯性指数为；()的的所有特征值全大于零；定义24 设在上有定义，如果对,及0，成立不等式则称是上的凹函数.如果不等号反向，则称是上的凸函数.下面，我们把数学分析的凹（凸）函数概念推广为定义3 设为在一个定义在上的实函数，如果对任意的正定矩阵、及任意，都有 （7）称是正定矩阵集上的凹函数. 如果不等号反向，则称是正定矩阵集上的凸函数.比较根据定义2与定义3可知，正定矩阵集上的凹（凸）函数与通常的凹（凸）函数相比较，它实际上是一种强凹（凸）函数.当是正定矩阵集上的凹（凸）函数时，它一定也是(0,)上的凹（凸）函数，这可以从正定矩阵、都取矩阵，即都取正实数看出；反之，对一般的凹（凸）函数，它们未必一定是正定矩阵集上的凹（凸）函数. 对于，由，可知是上的凹函数，本文的主要结果说明了同时还是是正定矩阵集上的凹函数.定义45 任意，若存在可逆矩阵，使得、同时为(主对角元素为非负实数)的上三角矩阵，则称、为可广义同时(非负)上三角化，当时，则称、可同时(非负)上三角化.根据文献5及6中的结果，有对，若、满足下列条件之一，则它们可广义同时上三角化：() 或；() 、为正定矩阵；() 的特征根为非负实数；() ,且、的特征根为非负实数引理与定理的证明 为证明主要结果及讨论正定矩阵集上的凹（凸）函数，下面，我们给出一些引论.引理1设、是实对称阵，是正定阵，则存在实可逆阵，使为对角阵.证明由于是正定阵，从而合同于，即存在实可逆阵，使,而仍为实对称阵，从而存在正交阵，使 （8）其中是的特征值，令，则，于是，有 （9）注:利用本证明方法，可以得出正定矩阵的一个重要结果：引理2设、都是正定矩阵，则存在实可逆阵，使，这里，.证明仿照引理1的证明，只需注意到为正定矩阵，引理得证.引理37对任意正定矩阵、，都有.引理45 (赫尔特不等式)设，则证明当时，不等式显然成立，当或时等式成立；当时，记，则有所以，即得，令则有引理2成立.结合引理1、引理2、引理3，我们给出著名的Minkovski不等式的一个简单证法，即下面的命题：命题（Minkovski不等式）设、是正定矩阵，则证明由引理2，存在实可逆阵，使 ， （10）因此，有 （11）这里，.对（10）、（11）取行列式，得，注意到，则得到，于是再由引理3的结论：，故有命题得证最后，我们来证明本文的主要结果定理的证明要证，即证 (12)由引理1，可逆矩阵，使得，同理，有则 即化简为即证由引理4中赫尔特不等式的特例(的情形)：，则有从而，证得.推论1 若、可同时非负上三角化，即存在可逆实矩阵，使得与成立，这里都是非负实数，.则.证明类似于定理1的方法可证，这里从略.推论2 对，若、满足下列条件之一：() 或；() 、为正定矩阵；() 的特征根为非负实数；() ,且、的特征根为非负实数则.证明根据文献5及6中的结果，当、满足上述条件之一时，、可同时非负上三角化，由推论1即得本推论结论成立.致谢：感谢数学系胡付高副教授的悉心指导.参考文献1 Bellman R. Inepoductonto Matrix AnalysisM.New Youk:McGrawhill,1970.2 BECKENBAHEF.InepualitiesM.Springer,19613 北京大学数学系.高等代数(第三版)M. 北京: 高等教育出版社，20034 华东师范大学数学系.数学分析(上册)（第三版)M. 北京: 高等教育出版社，20015 程学翰，王明辉.类矩阵行列式不等式J.数学研究与评论，2005，25（2）363-3686 胡付高.矩阵的弱相似性及其应用J.信阳师范学院学报（自然科学报），2003，16（1）：4-67 Li Guiqing,Hu Fugao,Zheng Mingjun. An elementary proof tobasic inequalityJ.孝感学院学报 ，2004，24（3）：55-578 张庆成，张朝风.定矩阵的凹性不等式的推广J.长春邮电学院学报，1994,12（2）：52-559 谢清明，杨忠鹏.几个行列式不等式在亚正定矩阵上的推广J.湘潭大学自然科学学报.2000，22（3）：11-1510 李衍禧，辛玉忠.亚半正定矩阵的几个行列式不等式J.烟台师范学院学报（自然科学版）.1998，14（2）：102-10511 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社，2000