2019人教版精品教学资料高中选修数学第一章 1.4A级基础巩固一、选择题1(2017杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)A8BC1D8解析瞬时变化率即为f (x)x22x为二次函数，且f (x)(x1)21，又x0,5，故x1时，f (x)min1.2(2017西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20 cm，要使其体积最大，则高为(D)A cmBcmCcmDcm解析设圆锥的高为x cm，则底面半径为(cm)，其体积为Vx(202x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x1，x2(舍去)当0x0，当x20时，V0，当x时，V取最大值3把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(D)Acm2B4 cm2C3cm2D2cm2解析设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4x)cm，两个三角形的面积和为Sx2(4x)2x22x4.令Sx20则x2，所以Smin2.4(2017泰安高二检测)已知某个车轮旋转的角度(弧度)与时间t(秒)的函数关系是t2(t0)则车轮启动后1.6秒时的瞬时速度为(B)A20弧度/秒B10弧度/秒C8弧度/秒D5弧度/秒解析，车轮启动1.6秒时的瞬时速度为：1.610.故选B5如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(A)A()3B()3C()3D()3解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr22r3(0r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为()3.6用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为(A)A0.5mB1mC0.8mD1.5m解析设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为(m)，容积V3x4x18x284x3，V36x252x2，由V0得x或x0(舍去)x时，V0，x时，V0)，yx2，由y0，得x25，x(0,25)时，y0，x(25，)时，y0，所以x25时，y取最大值8.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为_11_.解析设窗户面积为S，周长为L，则Sx22hx，hx，窗户周长Lx2x2hx2x，L2.由L0，得x，x时，L0，当x时，L取最小值，此时1.三、解答题9(2016成都高二检测)成都某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x10)万元之间满足：yf(x)ax2xbln，a，b为常数当x10万元时，y19.2万元；当x30万元时，y50.5万元(参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6).(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值(利润旅游增加值投入)解析(1)由条件可得解得a，b1，则f(x)xln(x10)(2)T(x)f(x)xxln(x10)，则T(x)，令T(x)0，则x1(舍)或x50，当x(10,50)时，T(x)0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x(50，)时，T(x)0，因此T(x)在(50，)上是减函数，当x50时，T(x)取最大值T(50)50ln24.4(万元)即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元10如图所示，设铁路AB50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？解析设MBx，于是AM上的运费为2(50x)，MC上的运费为4，则由A到C的总运费为p(x)2(50x)4(0x50)p(x)2，令p(x)0，解得x1，x2(舍去)当0x时，p(x)0；当0，所以当x时，取得最小值即在离B点距离为的点M处筑公路至C时，由A至C的货物运费最省B级素养提升一、选择题1(2016长沙高二检测)若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为(A)A2R2BR2C4R2DR22(2016威海高二检测)一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(C)ABCD2解析设圆的半径为x，记矩形高为h，则窗户的面积为S2hx，2hx.则窗户周长为lx2x2h2x.令l20，解S或(舍)因为函数只有一个极值点，所以x为最小值点，所以使窗户的周长最小时，圆的半径为，故C二、填空题3(2016沈阳高二检测)某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,4.8%)，则使银行获得最大收益的存款利率为_0.032_.解析用y表示银行的收益，由题可知存款量是kx2，银行应付的利息为kx3，银行应获得的贷款利息为0.048kx2.y0.048kx2kx3，x(0,0.048)y0.096x3kx23kx(0.032x)令y0，解x0.032或x0(舍)当0x0，当0.032x0.048，y0，当x0.032时，y取极大值，也是最大值4(2016东营高二检测)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_160_(单位：元).三、解答题5时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y4(x6)2，其中2x6，m为常数已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)解析(1)因为x4时，y21，代入关系式y4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y4(x6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)(x2)4(x6)2104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2x6)，从而f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2x0，函数f(x)单调递增；在(，6)上，f (x)0，函数f(x)单调递减，所以x是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x3.3时，函数f(x)取得最大值故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大6甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是Pv4v315v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解析(1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为Q6000(0，60，因此，f(x)在(6,50上是增函数；当x(50，)时，f(x)0，因此，f(x)在50，)上是减函数x50为极大值点当50，即t(，时，投入50万元改造时取得最大增加值；当650，即t(，)时，投入万元改造时取得最大增加值