五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的 推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有 独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活， 判断准确。因此要求解题者， 不仅具有严谨的逻辑推理能力， 而且具有丰富的想象能力 从而得到事半功倍的效果。赛题精讲例 1 ：解析如图51所示，一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立 弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度 系数为k,则物块可能获得的最大动能为 。球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理, 小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有mg=kx由机械能守恒有图 51mg (h + x) = Ek+ 丄 kx 221 m2g 2 联立式解得E = mgh- k2 k如图52所示，倾角为Q的斜面上方有一点O,在O点放一至 斜面的光滑直轨道，要求一质点从 O 点沿直轨道到达斜面 P 点的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角 卩。解析：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时间t应该与卩角有关,求时间t对于卩角的函数的极值即可。由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为a = g cos B该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t,则at 2 = OP所以 t =:2OPg cos 0由图可知，在 OPC中有OP _ OC sin(90。-a) sin(90。+a - P)所以OP _OC cos acos(a - P)将式代入式得!2OC cos ai4OC cos a Ig cos P cos(a - P)cosa + cos(a - 2P)g解析：a显然，当cos(a - 2P) _ 1,即卩_ -时，上式有最小值.a所以当P _ -时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。此题也可以用作图法求解。从底角为0的斜面顶端，以初速度U水平抛出一小球，不计0 空气阻力，若斜面足够长，如图 53 所示，则小球抛出后， 离开斜面的最大距离 H 为多少？ 当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。 以水平向右为 x 轴正方向，竖直向下为 y 轴正方向，图 5 3则由：v _ v tan 0 _ gt ，y0v解得运动时间为t _ 0tan0g该点的坐标为x_vt_0o tan 0g1y _ 2 gt 2v22gtan 2 0由几何关系得：H/cos0 + y _ xtan0解得小球离开斜面的最大距离为H _ 0 tan0 - sin0。2g这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。 如图54所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m 的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m。若不计空气阻力，取g _ 10m/s2，求所需的最小初速及对应的发射仰角。解析：一一 d水流做斜上抛运动，以喷口 O为原点建立如图所示的图54 直角坐标，本题的任务就是水流能通过点 A (d、h)的最小初速度和发射仰角。x = v cos a -1根据平抛运动的规律，水流的运动方程为01y = v sin a -1 一 gt 2 02t，得：把A点坐标(d、h)代入以上两式，消去=-gd 2 /2cos2 a - (h - d tan a)=gd 2 /d sin 2a - h(cos 2a +1)=gd 2 /、d 2 + h 2 d- sin 2a -v20h-cos 2a - hd2 + h2yd2 + h2h/d = tan0,则d / 卩。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动图55的最大距离 L 是多少？解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f其加速度a =/=卩(M + m)g =憾。1 M + m M + mv v 2由于铁板移动的距离L =,故v越大，L越大。vv是人与铁板一起开始地运动2a1的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦卩(M + m)g，根据系统的牛顿第二定律得：哈F M + m 所以ac =卩g2 mm设v、v分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度因为 mv = (M + m)v且 v2 = 2a l, v2 = 2a L21并将J a2代入式解得铁板移动的最大距离例6：设地球的质量为M,人造卫星的质量为m,地球的半径为R0,人造卫星环绕地球 做圆周运动的半径为r。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度RV jRg（2 一；），并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。（取Ro%4X106m）,设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为 g）解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地面发射的速度为v发，卫星发射时具有的机械能为1MmE = mv 2 一 G -12 发 R01Mm进入轨道后卫星的机械能为E =-mv2 -G -22 轨r,GMCM R、由E1=E2，并代入卩轨二，解得发射速度为v二（2）12轨r发 Rr0所以GMR0Mm又因为在地面上万有引力等于重力，即：G 二mg R20IR把式代入式即得：卩发二讥g（2 一 ；）（1）如果r=Ro，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小为v min7.9 x 103 m/ s .（2）如果r fg，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为v = R g - 11.2 x 103 m / s max0例7：如图56所示，半径为R的匀质半球体，其重心在球心O点正下方C点处，OC=3R/8，半球重为G,半球放在 水平面上，在半球的平面上放一重为 G/8 的物体，它与半球平在间的动摩擦因数卩=0.2，求无滑动时物体离球心图56O 点最大距离是多少？解析：物体离O点放得越远，根据力矩的平衡，半球体转过的角度0越大，但物体在球 体斜面上保持相对静止时，0有限度。设物体距球心为 x 时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴， 根据平衡条件有：G -3R sin 0x COS08得 x = 3Rtan可见， x 随0 增大而增大。临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则tan0 = p = 0.2,所以,x = 3pR = 0.6R.mN图 5 7例 8：有一质量为 m=50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数卩=0.3，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角 0 = 30 ，如图 57 所示。（1）若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离h = 2L/5（L为杆长），要 1使杆不滑倒，力 F 最大不能越过多少？若将作用点移到h2 = 4L/5处时，情况又如何?解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小图 5 7 甲还与 h 有关，讨论力与 h 的关系是关键。 杆的受力如图 57甲所示，由平衡条件得F - T sin 0 - f = 0N 一 T cos 0 一 mg = 0F(L-h)- fL = 0另由上式可知， F 增大时， f 相应也增大，故当 f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：f =卩N解得：,=mgL tan 0mas(L 一 h) tan 0 / 卩 一 h由上式又可知，当（L - h）tan0 /卩- h即当= 0.66L时对F就没有限制了。2（1） 当h =三L h ,无论F为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。2 50例9：放在光滑水平面上的木板质量为M,如图58所示，板上有质量为m的小狗以与木板成9角的初速度v（相对于地面）由A点跳到B点，已知AB间距离为s。求初速度的最小值。图58解析：小狗跳起后，做斜上抛运动，水平位移向右，由于水平方向动量守恒，木板向左 运动。小狗落到板上的 B 点时，小狗和木板对地位移的大小之和，是小狗对木板 的水平位移。由于水平方向动量守恒有mvcos9= Mv即 v = mVo Sin 9M2v sin 9小狗在空中做斜抛运动的时间为t=g又 s + v cos9 -1 = vt将、代入式得v = | Mgs(M + m) sin 29兀当sin29= 1,即9 =-时,vo有最小值,vminMgsM + m例10:一小物块以速度v = 10m / s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图59;，所示，当高台的高度h多大时，小物块飞行的水平距离s最-L 大？这个距离是多少？ （ g取10m/s2）图59解析：依题意，小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，由于支持力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离 s 是高度 h 的函数。设小物块刚脱离曲面顶部的速度为 v1mv 2 =2 o1mv 2 + m g2根据机械能守恒定律小物块做平抛运动的水平距离s和高度h分别为：h = 2gt2s = vt2h c v 2v 2、以上三式联立解得：s =讥-2叭？=2丫（4g）2-（h-4g）2v24g= 2.5m 时，飞行距离最大，为 smaxv22g例11：军训中战士距墙S以速度v0起跳如图510所示,再用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为卩。