课 题直线的参数方程的几何意义教学目标要 求与直线的参数方程有关的典型例题教学重难点分 析与直线的参数方程有关的典型例题知识要点概述 1定义：过定点、倾斜角为的直线的参数方程为t为参数，其中t表示直线上以定点为起点，任意一点Mx，y为终点的有向线段的数量， 2的几何意义：直线上点到M的距离.此时,假设t0,那么的方向向上;假设t0,那么的方向向上;当t0,那么的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.例2双曲线 ，过点P2，1的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，那么直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由题意t1 +t2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直线P1P2的斜率 ，点P2，1在直线P1P2上，即2x2 y2 4x +y = 0为所求的轨迹的方程。五,求点的轨迹问题例1双曲线 ，过点P2，1的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，那么直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由题意t1 +t2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直线P1P2的斜率 ，点P2，1在直线P1P2上，即2x2 y2 4x +y = 0为所求的轨迹的方程。六、求定点到动点的距离例1直线l过点P(1，2)，其参数方程为(t是参数)，直线l与直线 2x +y 2 =0 交于点Q，求PQ。解：将直线l的方程化为标准形式，代入 2x +y 2 =0得 t = ， PQ = | t| = 。点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。例2经过点P(1，2)，倾斜角为 的直线 l与圆 x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PA +PB和PA PB的值。解：直线l的方程可写成，代入圆的方程整理得：t2 +t4=0，设点A，B对应的参数分别是t1 ，t2，那么t1 +t2 = ，t1 t2 = 4，由t1 与t2的符号相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 t2| = = 3，PA PB =| t1 t2 | = 4。点评：解决此题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。七、求直线与曲线相交弦的长例1抛物线y2 = 2px，过焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求证：。分析：弦长AB = |t1 t2|。解：由条件可设AB的方程为(t是参数)，代入抛物线方程，得 t2 sin2 2pt cos p2 = 0，由韦达定理：， AB = |t1 t2| = = = 。例2椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A，B两点，假设FA =2FB，求那么椭圆的离心率。分析：FA =2FB转化成直线参数方程中的 t1= 2t2或|t1| =2|t2|。解：设椭圆方程为 ，左焦点F1c，0，直线AB的方程为，代入椭圆整理可得：(b2 +a2)t2 b2ct b4 = 0，由于t1= 2t2，那么，22+得：，将b2 =a2 c2代入，8 c2 = 3 a2 + a2 c2，得 ，故e = 。在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，表达了等价转化和数形结合的数学思想。知识稳固训练应用一：求距离例1、直线过点，倾斜角为，且与圆相交于A、B两点。1求弦长AB.2求和的长。应用二：求点的坐标例2、直线过点，倾斜角为，求出直线上与点相距为4的点的坐标。应用三：解决有关弦的中点问题例3、过点，倾斜角为的直线和抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点M点的坐标。 解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，即，t为参数，代入圆方程，得，整理得1设A、B所对应的参数分别为，所以，所以2解方程得，所以，解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，即，t为参数， 1设直线上与点相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t，那么，所以，将t的值代入1式，当t4时，M点的坐标为；当t4时，M点的坐标为，综上，所求M点的坐标为或. 点评：假设使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。解：直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，t为参数，因为直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程中，得：，整理得，设这个二次方程的两个根为，由韦达定理得，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得，易知中点M所对应的参数为，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为2，1 点评：对于上述直线的参数方程，A、B两点对应的参数为，那么它们的中点所对应的参数为