1.4有理数的乘除法新知链接1、约分：利用分数的基本性质，把分子分母中的最大公约数约去，叫做约分。2、分数乘法法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。分 数乘分数，用分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母。3、乘法运算律：乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。用字母表 示为：ab=ba。 乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。用字 母表示为：（ab） c=a （ bc）。 乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。用字母表示为： a（ b+c）=ab+ac .4 、绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。目标导航1 、理解有理数的乘法法则， 能熟练地进行有理数的乘法运算，并能运用乘法运算律简化计算。2、会将有理数的除法转化成乘法，正确进行有理数除法的运算。3、会进行有理数的乘除混合运算。考点一：有理数的乘法（必考）考点深度解析1、有理数乘法法则有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0。【特别提醒】 乘法法则中的“同号得正，异号得负”是专指两个数相乘。有理数乘法的运算步骤 为两步：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 乘法算式中的第一个负因数可以不带括号，但是后面的负因数必须带括号， 例如一40X（5）不能写成40X 5。在进行乘法运算时，带分数要化成假分数，以便于约分。2、倒数的概念倒数的概念：乘积是 1的两个数互为倒数。0没有倒数；若 0,那么a的倒数是丄。即aa与1互为倒数。例如：3与1，-与一8互为倒数。a387 求带分数的倒数时，要先把带分数化成假分数；求一个小数的倒数要先把小数化为分数。 检验所求倒数的正确性的方法：原数与其倒数符号相同，并且二者乘积为1.3、有理数乘法法则的推广几个不是o的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积是 正数；当负因数的个数是奇数时，积是负数。几个数相乘，如果其中有因数为o，那么积就是0.【典型例题】例题1 (从化月考)计算：1(1) (- 10)x( _)x( 0.1 ) x 6 ;35 4(2) ( 3)x _x( 1 )x( 0.25 );6 5(3) ( 5)x( 8.1 )x 3.14 x 0.解析：几个不是0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。因数是小数的要化为 分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分。几个数相乘，有一个因数为0，积就是0.1解：(1) ( 10)x( -)x( 0.1 )x 631 1=10xx x 6310=2;5 4(2) ( 3)x _x( 1 )x( 0.25 )6 59= 一；8(3) ( 5)x( 8.1 )x 3.14 x 0.=0.9答案：(1) 2;(2) ;(3) 0.84、有理数的乘法运算律有理数乘法的运算律： 乘法的交换律：一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。用字母表示为：ab=ba。 乘法的结合律：一般的，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。用字母表示为：(ab) c=a (be)。 乘法的分配律：一般的，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。用字母表示为：a (b+e) =ab+ae .【特别提醒】1 在用交换律交换因数的位置时，要连同符号一起交换。例如：10x()x( 0.131x 6=6 x( )x( 0.1 ) x( 10) o31 57 利用分配律计算时，不要漏乘，不要弄错符号。例如：(1 + 5- 7 )x(- 36)2 6 121 57157=_ (-36) + - (-36)- (-36)，不要写成一(-36)+ (-36)- 。2 6122612【典型例题】 例题2 (汕头月考)计算：1(1) 1.25 x(- 0.3 )x 8X(- 3-);31 57(2) ( 1 +5- )X( 36);2 6 12(3) 4X 57+( 4)X 43;(4) 9 20 X 42.21解析：在做有理数的乘法时，要先观察算式的特点，灵活运用乘法的运算律，可以使复 杂的问题简单化。其中第3小题可以逆用乘法的分配律把已知算式变成(一4) X ( 57+ 43).1解：(1) 1.25 X( 0.3 )X 8X( 3-)31 =(1.25 X 8)X( 0.3 X 3 -)3=10X 1=10；1 57(2) ( + -) X( 36)2 6 121 57=(-36)(-36)-(-36)2 612=18+(30)(21)=18 30 + 21=27;(3) 4X 57+( 4)X 43=(4)X( 57+ 43)=(4)X 100=400;(4) 9 20 X 42211=(10) X 42211 =(10 X 42 X 42)21=(420 2)=418 o答案：(1) 10;(2) 27;( 3) 400;(4) 418o考点二：有理数的除法(必考)考点深度解析1、有理数除法法则有理数除法法则：1法则除以一个不等于 0的数，等于乘以这个数的倒数。用字母表示为：a十b=ax -( b 0) o b法则两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于 0的数，都得0o【方法点拨】 如果被除数和除数都是整数，且能整除，一般选用法则进行计算，先确定商的符号，再将两数的绝对值相除。 如果被除数和除数都是整数且不能整除，或者被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则进行计算。【典型例题】例题3 (南阳期中)计算：(1)21 +(11 )；36(2)(12) +1( )+ ( 100)122),解析：在进行有理数的除法运算时，首先确定商的符号，然后将其绝对值相除；对于( 属于多个有理数相除，可以按照从左到右的顺序依次计算，也可以转化为乘法后计算。11解：(1) 2丄 +( 11 )3 673=2;1(2) ( 12) + ( ) + ( 100)121=(12 十十 100)12=(144 十 100)=1.44.1另解(2)： ( 12) + () + ( 100)121=(12 X 12X-)100=1.44.答案：(1) 2;(2) 1.44.2、有理数的乘除混合运算有理数的乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。【典型例题】 例题4 (铜仁月考)计算：/八 /3/1111(1)()X(3 )+ (1- )+ 3; ( 2)1- +( 3)X o52423解析：进行乘除混合运算时，先将除法化成乘法，把算式化为连乘积的形式。再利用负因数的个数确定乘积的符号，同时将小数化成分数，把带分数化为假分数进行计算。”31解: (1)(一 三)x(3- ) +52/37= ()x(-)x523741= xxx -52534-)51425(2)111-+(3)x 2331、 1=x()x 233311=xx -23316答案：(1)141一;(2)256【易混辨识】有理数的乘除混合运算是同级运算，在运算过程中，应按照从左到右的顺序逐一进行，但是部分同学经常会忘记这一点，错误地认为哪两个数比较容易计算就先算哪两个数，或错111误的约分导致运算结果错误。例如：计算1 +( 3) x 时，会出现如下错误：1 1十23211111一 一(3)x = 13x = 11=1 。因此在有理数的混合运算中，一定要注意运算顺3 23 22序。分配律的运用使运算简便、准确，但是分配律对于除法运算并不完全适用。11113-52例如：计算15+()时，正确解答是：15+(-)=15 + =:15+=5353151522511。此题不能使用分配律。但是当被除数是和的形式时，可以使用。例如：(一)25 311112+ 15=+ 15+ 15= 一 。5375452253、有理数的四则混合运算1、有理数的四则混合运算：是指有理数加减、乘除运算的综合运用。在运算时注意按照“先算乘除，再做加减”的顺序进行；如果有括号指出先做什么运算，则先做括号里面的运算。 同级运算按照从左到右的顺序进行。2、计算器的使用不同品牌的计算器操作方法可能有所不同，具体操作方法应当按照计算器的使用说明进行。 另外注意以下几点：计算器要放置平稳，以免按键时发生晃动和滑动； 每次运算时，要按一下清零键 ON ;1(1) 1 + 5 +(-)2X( 2) (2)/、11 /11、35(3)X(-)X + 。52114注意负数的输入方式。【典型例题】例题5 （遵义月考）计算:81/ 2、1/ 6、113 +(7 )+ +(36 )+ 136136136解析：有理数的加减乘除混合运算中，如果有括号，通常先算括号里面的；如果无括号，则 按照“先乘除，后加减”的顺序进行；同级运算按照从左到右的顺序进行。1解：(1) 1 + 5+( ) X(- 2)2=1 + 5X 2X 2=19;/c、81/2、1/61(2) 13+( 7 )+( 36)+ 136136136826=13x 6+( 7 )x 6+( 36 )x 6131313826