习题1 求如图所示周期三角波的傅立叶级数表示，并画出频谱图。 X(t) A 0 t解：x(t)的一个周期可表示为： 常值分量：余弦分量的幅值： n=1,3,50 n=2,4,6 正弦分量的幅值：这样，该周期三角波的傅立叶级数展开式为： 3 5 3 5 练习2 求指数衰减振荡信号的频谱函数。解一：解二：4. 求指数衰减函数 的频谱函数 ，（ ）。并定性画出信号及其频谱图形。解：（1）求单边指数函数 的傅里叶变换及频谱 （2）求余弦振荡信号 的频谱。 利用 函数的卷积特性,可求出信号 的频谱为 其幅值频谱为 a a b b c c题图 信号及其频谱图注：本题可以用定义求，也可以用傅立叶变换的频移特性求解。练习3 已知信号x(t)的傅立叶变换为X(f),求的傅立叶变换。解一： 解二：且 解三：根据信号的线性性好频移性,其频谱为:1 求周期方波的傅立叶级数（复指数函数形式），画出|cn|-w和j-w图。 解：(1)方波的时域描述为： (2) 从而： 2 . 求正弦信号 的绝对均值 和均方根值 。 解(1) (2) 例1:求正弦函数 的自相关函数。 解：（1）掌握自相关函数的定义，根据计算公式求解。 根据式(2.22)得 （2）为解积分，进行变量代换。 式中 是正弦函数的周期， 。 令 带入上式，则得 例2:求两个同频率的正弦函数 和 的互相关函数 。 解： （1）掌握互相关函数的定义，写出其计算公式。 因为信号是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，故 2 .求 的自相关函数.其中 解：瞬态信号的自相关函数表示为： 例1:.某一阶测量装置的传递函数为 ，若用它测量频率为0.5Hz、1Hz、2Hz的正弦信号，试求其幅度误差。解：（1）掌握一阶系统的频率响应函数。 当=0.04， w=2f 时 （2）掌握一阶系统幅度误差公式。幅度误差=(1-A(w)100% 根据已知条件，有： f=0.5 HZ,A(w)=0.78% f=1HZ, A(w)=3.01% f=2HZ, A(w)=10.64%2 解：（1）求解串联系统的灵敏度。 （2）求压力值。3.把灵敏度为 的压电式力传感器与一台灵敏度调到 的电荷放大器相接，求其总灵敏度。若要将总灵敏度调到 ，电荷放大器的灵敏度应作如何调整？解：5.用一阶系统对100Hz的正旋信号进行测量时，如果要求振幅误差在10%以内,时间常数应为多少？如果用该系统对50z的正旋信号进行测试时，则此时的幅值误差和相位误差是多少？解：（1）一阶系统幅频误差公式。 幅值误差为：2.9%，相位差为:-67.540例3-4、设有两个结构相同的二阶测量装置，其无阻尼自振频率相同，而阻尼比不同。一个是0.1，另一个是0.65。如果允许的幅值测量误差是10%，问：它们的可用频率范围是多少？ 解：由 可知 （1） 求 0 1 3 4 解此方程，得到两个正实数根： （2） 求此方程在实数范围内无解，即的频率响应曲线的极大值小于1.1。（3） 求当得： （4） 求当得一正实根： （5） 工作频率范围：对， 对， 由此例可见，阻尼比显著影响二阶测量系统的可用频率范围。当其可用频率范围由，扩大了1.68倍。例3-3：求周期信号，通过传递函数为的装置后所得到的稳态响应。解：输入信号为 ，此装置对所给输入信号x(t)有线性叠加性和频率保持性。设：，即，即测试装置为一阶系统，。装置对该两频率信号分量的增益（幅值比）和相移分别为：由叠加性和频率保持性，测试装置对输入x(t)的稳态响应y(t)为：例3-1 设有一阶环节其时间常数，输入一简谐信号，问：输入信号频率为多少时，其输出信号的幅值误差不大于6%？这时输出信号的滞后角是多少？解：一阶环节： 允许幅值误差： 代入上式，得 解之 从此例可看出，给定一个测量装置，若其时间常数相应确定，这时若再规定一个允许的幅值误差，则允许它测量的最高信号频率也相应确定。既为可用频率范围。当被测信号频率在此范围内时，幅值测量误差小于允许值。上例中，可用频率范围是：。例2、设另有一个一阶环节，其时间常数。设输入信号的频率。问此情况下解： 将例1和例2比较可看出，由于时间常数由0.1s加大到0.2s，幅值衰减率由6%加大到1-81%=19%。而滞后角则由，。一阶环节实际上是一个低通滤波器。它只允许低频信号通过，高频则剧烈衰减。4.用一时间常数为2s的温度计测量炉温时，当炉温在200400之间，以150s为周期，按正弦规律变化时，温度计输出的变化范围是多少？解： （1）已知条件。 （2）温度计为一阶系统，其幅频特性为（3）输入为200、400时，其输出为：y=A(w)200=199.4() y=A(w) 400=398.8( ) 例3-5、设有一力传感器，可视为二阶系统来处理，已知传感器的固有频率为1000Hz，阻尼比，用传感器测量频率为500Hz的正弦外力时，会产生多大的振幅误差和相位误差？解： 则 即输出相位将延迟281 以阻值 ，灵敏度S=2的电阻丝应变片与阻值为 的固定电阻组成电桥，供桥电压为2 V，并假定负载为无穷大，当应变片的应变为2和2000是，分别求出单臂、双臂电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。 解：(1)对于电阻型应变片来说， 当应变片的应变为 时：单臂电桥的输出电压为：双臂电桥的输出电压为： (2)当应变片的应变为 时：单臂电桥的输出电压为： 双臂电桥的输出电压为： 通过计算可知：双臂电桥的灵敏度比单臂电桥高一倍。2 有人在使用电阻应变片时，发现灵敏度不够，于是试图在工作电桥上增加电阻应变片数以提高灵敏度。试问，在下列情况下，是否可提高灵敏度？说明为什么？ 1） 半桥双臂各串联一片。 2) 半桥双臂各并联一片。解：(1)未增加电阻应变片时，半桥双臂的灵敏度为： 当半桥双臂各串联一片时： 简化电路，设 时，计算得：，所以不能提高灵敏度。(2)当半桥双臂各并联一片时：简化电路，设 时，计算得：，所以也不能提高灵敏度。5 图为利用乘法器组成的调幅解调系统的方框图。设载波信号是频率为 的正弦波，试求：1） 各环节输出信号的时域波形；2) 各环节输出信号的频谱图。解：(1)原信号时域波形： ，频谱图： (2)第一次乘法运算后时域波形： ，频谱图： (3)第二次乘法运算后频谱图：低通处理后时域波形： （幅值为原信号的一半），频谱图：