高中数学必修四课标解读李涛 陕西师大附中 71006119世纪末，德国数学家康托创立了集合论。高中课程并不涉及集合论理论。但是集合论中使用的集合语言成为近现代数学的基本语言之一。本模块将学习集合的一些基本知识，学习用集合语言描述函数概念，表示数学对象，借以发展学生运用数学语言进行交流的能力。 函数概念是高中数学的核心概念之一。 运用函数的思想方法可以构造描述客观世界的重要数学模型，函数的基础知识在现实生活、科技、经济和许多学科中有着广泛的应用。标准对函数有关内容的要求和处理，与以往相比有所变化，我们将对这些变化作出相应的说明。1 教育价值1.1发展学生运用数学语言学习数学、进行交流的能力数学科学具有丰富的内涵， 包括数学理论、思想、方法、以及在其他科学中的广泛应用。 其中一个重要的方面是运用数学语言将数量关系和数学结构表示出来。 因此， 在这个意义上，学习数学就是学习一种有特定涵义的形式化语言，以及用这种形式化语言去表述、解释、解决各种问题。以上一句改为：作为现代数学语言重要组成部分的集合语言， 可以简洁、准确地表述数学对象和结构。学生在小学和初中已接触了集合，如：自然数集、有理数集、实数集等等，只是没有明确提出来，现在明确提出来，就要利用和结合学生已学过的数学内容，以及生活中的实例，使学生感受集合语言在描述客观世界中具有某种特性的对象、在数学和数学学习中的意义和作用。比如，我们可以利用集合的语言表示方程的解集， 也可以运用并集、交集的方法表示不等式的解集。 这种表示十分简洁、明确。还有，我们可以用集合语言方便地表示平面上以原点为圆心的单位圆周和单位圆面，等等。有利于学生运用数学语言来刻画现实世界的数量关系和几何形式， 提高运用数学语言学习数学、进行交流的能力。1.2发展学生对变量数学的认识这一模块的学习应关注发展学生对变量数学的认识。通过本模块的学习，要使学生认识到：由于我们生活在充满变化的现实世界中，经常可以看到一类反映运动变化的数量关系一个变量随另一个变量的变化而变化，例如：火车票的票价随里程数而变化，卫星离地面的距离随时间而变化，家庭的电费随该家庭的用电量而变化，在改革开放的国策下，我国居民的平均收入随时间在不断的增加，我国国土的绿化面积随时间在不断增加等等。这一类反映运动变化的关系有一个共同点，这就是：变量之间有一种相互依赖的关系，可以从某一事物的变化信息推知另一事物的变化信息，这种认识事物的思想方法在我们周围、在各学科中随处可见。数学上用函数来描述这种运动变化中的数量关系。标准要求学生:把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习；结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长模型；收集函数模型的应用实例，了解函数模型的广泛应用；利用信息技术探索和了解指数函数、对数函数的变化规律和性质；将函数的思想方法贯穿在整个高中数学的学习中，不断加深对函数概念本质的认识和理解。所有这些，都是为了有利于学生对这一特定的、重要的变量之间关系的认识，为了有利于学生对数学与现实世界之间联系的认识，最终达到发展学生对变量数学认识的目的。2 内容的要求和具体处理的建议2.1集合本模块对集合的定位是将集合作为一种语言来学习，帮助学生学会用集合语言简洁、准确地表示数学对象，提高用数学语言进行表达和交流的能力。符号化、形式化是数学的一个显著特点。学习数学的任务之一，就是学习用形式化语言去表述、解释、解决各种问题。在数学学习中，经常要通过语义转换将一个用自然语言表述的问题转换为用形式语言表述的问题， 或者反过来。 解决数学应用题， 往往难在把一个问题写成一个用文字符号写成的方程式。 因此，语义转换能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要一环。在集合语言的学习中，标准要求学生能针对具体问题，恰当地选择用自然语言、或图形语言、或集合语言（列举法或描述法）去表示相应问题的数学内容，培养学生数学语义转换的能力。例如，对于用自然语言描述的问题：“某年级先后举行数学、物理、化学三科的竞赛活动，其中有75人参加数学竞赛，68人参加物理竞赛，61人参加化学竞赛。17人同时参加数学、物理竞赛，12人同时参加数学、化学竞赛，9人同时参加物理、化学竞赛，还有6人三科都参加。求参加竞赛的人数。” 如果我们分别用表示参加数学，物理，化学比赛的学生组成的集合，再用图形语言来表示上述问题中的关系。那么，这一问题的解决会变得很容易了。当然，有时为了考查学生对集合描述法的理解时，也可以要求学生对用描述法给出的集合用自然语言来表述。例如。让学生用自然语言来说出集合与集合所确定的对象分别是什么？ 2.2关于函数概念处理方式的变化及变化的理由标准对函数概念处理方式是强调函数是刻画现实世界中一类重要变化规律（运动变化）的模型，一种通过某一事物的变化信息可相应地推知另一事物信息的数学模型。为此， 可以结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法。标准还强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长（或减少）的模型。在教学中，要求通过收集函数模型的应用实例，了解函数模型的广泛应用；并且将函数的思想方法贯穿在整个高中数学的学习中。函数概念的认识和掌握需要学生多次反复以加深理解。2.3加强了哪些方面的内容2.3.1加强了函数作为数学模型的要求加强函数模型背景和应用的要求，不仅是高中课程目标的要求，而且是反映数学产生、发展过程，从而使学生更好地认识数学、认识数学价值的需要，同时也是出于对学生认知规律的考虑。标准在课程目标中的第一条就明确指出：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中蕴含的数学思想方法，以及他们在后继学习中的作用。” 对于“函数”这一高中数学的核心概念，应该做到：使学生通过丰富的实例，进一步体会函数是描述因变量随自变量而变化的重要数学模型；让学生通过具体实例去了解指数函数模型的实际背景、去了解对数函数模型的实际背景；让学生通过实例去体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；要求学生通过各种活动，收集现实生活中普遍存在的变量依存关系，亲自经历构作函数模型的过程，体会函数模型的广泛应用。加强了知识之间的联系。 这种联系包括与方程、不等式、算法等内容的横向联系，以及在整个高中数学中多次接触，反复体会，螺旋上升学习函数的纵向联系。加强知识之间这些联系的主要原因有两个：一是高中数学是以模块形式呈现的，而数学各分支有其自身的体系，各分支间又有有机的联系。因此，沟通各模块之间的联系，使学生体会知识间的有机联系，感受数学分支自身的体系，对于学生学习数学、认识数学的整体性就显得尤为重要。例如，标准要求结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的的近似解，为下面的算法学习作一些准备，等等。二是对函数这一概念的真正理解、掌握和运用是需要有一个过程的。如：为什么初中学了函数现在还要学习函数？为什么要明确函数的构成要素？为什么要用集合对应的语言来定义函数？为什么要引进函数记号？说到函数时，你想到了什么？看到函数记号你又想到些什么？能回答好这些问题，必须有一个多次接触，反复体会，螺旋上升、逐步加深认识和理解的过程。2.3.2加强了对数形结合、几何直观等数学思想方法学习的要求数形结合、几何直观等数学思想方法是数学和数学学习中的重要思想方法，他们对于理解数学、对于数学的思考和学习都是十分重要的。而函数这一内容是学习数形结合、几何直观等数学思想方法很好的载体。 函数的图象教学， 应当放在重要的位置。 绘制函数的比较精确的图象和通过图形解读数学信息，是一项基本的数学技能。2.3.3加强了与信息技术整合的要求标准在这一部分的有关内容中，明确指出了要运用信息技术进行教学。首先是进行计算。 例如体会指数函数增加的速度， 需要用科学计计算器进行计算。 这也是高中阶段第一次使用计算器的章节。 教师应该帮助学生学习使用函数型计算器。其次， 要能借助计算器或计算机画出具体函数的图象，探索并理解函数的单调性与特殊点；会用计算器求相应方程的的近似解（用二分法等）。第三。 用计算机技术展示各种函数的图象，加强几何直观， 增加学生的学习兴趣。 例如， 随便你写出怎样的函数， 计算机都会画出相应的图象。 这些都体现了加强与信息技术整合的要求。2.4削弱了哪些方面的内容削弱了对定义域、值域的过于繁、难的，尤其是人为的过于技巧化的训练，目的是为了使学生更好地理解函数的基本思想和实质。对反函数的概念和函数的奇、偶性有所削弱。 反函数的概念不求一般的处理，只要求知道指数函数与对数函数（互为反函数；将复合函数概念放到“导数及其应用”的相关内容中；此外，对于对数函数内容的要求也有所降低（如换底公式的要求）。2.5指数函数与对数函数处理上的变化突出指数函数与对数函数是现实世界中的重要数学模型，强调它们的实际背景和应用价值。例如，要求通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景；通过收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例去了解他们的广泛应用；强调通过计算工具，比较指数函数、对数函数与幂函数增长的差异，以及作为不同的函数增长模型的应用；等等。这一变化同样是为了力求使数学学习不仅是对知识的学习、理解和掌握，更要体现以知识为载体的育人的价值，使学生更好地认识数学、认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，数学的应用价值，等等。3内容说明与建议建议先讲函数，再讲映射。这样处理能与初中已学习的函数内容有一个较为自然的衔接，也符合从特殊到一般的认识规律。 在教学中，要重视图形在数学学习中的作用，挖掘函数图形对函数概念和性质的理解，对数学理解、数学思考的功能。我们可以经常提出这样一些问题：从函数图象中你“看到了”什么？发现了什么？有什么联想？等等。当然，我们也要注意几何直观的局限性，以及用几何直观代替逻辑证明的错误做法。在函数教学中，要力求使学生感受与初中所学函数内容之间自然的衔接和再次学习函数的必要性，通过典型例子、适当的教学方式、适当的教学组织形式，为进一步学习函数作一些准备。注意不要作过分强调细支末节的讲解和训练，避免人为地编制一些繁难的偏题。如对集合中的“三性”（确定性、无序性、互异性）的讲解和训练；函数概念中求定义域、判断是否同一函数的训练；分数指数幂的运算；等等。恰当运用信息技术 要正确理解“加强与信息技术整合的要求” ，当我们鼓励学生运用现代信息技术学习数学时，须让他们认识到现代信息技术的飞速发展，为我们的教与学注入了新的活力，但是，现代信息技术不能替代艰苦的学习和人脑精密的思考，信息技术只是作为达到目的的一种手段，一种快速计算的工具。 参考文献1严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准解读.江苏教育出版社，2004年4月第1版.