百度文库-让每个人平等地提升自我第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2013）工（本题共4小题.每小题各6分，共24分）解答下列 售题.(I)求极限 lim 1 -bsin rt-KC *r ein r（2）证明广义积分0把三杰不是绝对收敛的.（3）设函数j = yix）由+ 3xy - 2y3 = 2所确定,求工）的极值.（4）过曲线,=次口主0）上的点4作切线,使该切线与曲段及x轴 所困成的平面图形的面积为:，求点d的坐标， 二（本题12分）计算定积分/=史11二*乙-.I 】+ cos- X三、（本题12分）设/在x = 处存在二阶导数，目1浊午=0.证明：级数收敛.五.（本题】4分T设2是一个光滑封闭曲面方向朝外，给定第二型 曲面积分/ = J 工）力比 +（2/-y）正壮c +（3/ - 二）去力. V w试确定曲面,使得积分的值最小，并求该最小值.六、（本题14分）设（什若匚镖，其中靠为常 乂“尸）数,曲线C为脑圆必小个+V =尸、取正向.求极限iim (，) r-+七、（本题14分）判断级数心】旦的敛散性，若收敛.求其和.前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识, 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题 5分）适当看（x y）ln（1 -）1.计算 x dxdy 16/15 ,其中区域D由直线x y 1与两坐标轴 D 1 x y所围成三角形区域.解：令x y u, xv,dxdy detdudvdudv,(x y)ln(1 -)_x_ ydxdy010du1 t2 2t21 u ,则 uu In u1 u ln uo(1 u21 u ln u(*)2tdt , u2 102(11uln v .dudvudv0u/ 1 uu0 ln vdv)duu(uln u u).1 u2u .du, 1 ut4 , u(1 u)t2(12t 2t4)dtdu(*)t)(1 t),122(1 2t202.设f(x)是连续函数，且满足t4)dt3t3 5t516152 2f (x)/3x2 f (x)dx 2,则 f(x)一人22解：令 A f (x)dx,则 f(x) 3x A 2 ,22A 。2 A2)dx8 WA 2)4 2A,解得A 4。因此f (x) 3x2 竺。332 3 .曲面z 士 y2 2平行平面2x 2y z 0的切平面方程是.22解：因平面2x 2y z 0的法向量为(2,2, 1),而曲面z v y2 2在2(x0,yo) 处的法 向量为 (zx(xo, yo), zy(xo, yo), 1) 故 (zx(x, y), zy(x, y), 1)与(2,2, 1)平行，因此，由 zx x , zy 2y 知 2 zx(xo,yo) xo,2 zy(xo,yo) 2y0,即 x0 2, y0 1 ,又 z(x0, y0) z(2,1) 5,于是曲面 2x 2y z 0 在 (x0, y,z(x0, y。)处的切平面方程是 2(x 2) 2(y 1) (z 5) 0 ,即曲面2 x 2.z 一 y 2平行平面2y(x)由方程xef(y) ey In 29确定，其中f具有二阶导数，且2x 2y z 0的切平面方程是2x 2y z 1 0。4 .设函数yd2ydx2解：方程xef(y) eyln29的两边对x求导，得 f(y)f(y) ye xf (y)y e e y In 29因 ey In 29 xef (弋，故1 f (y)y y ,即 y 1,因此xx(1 f (y)d2y1f (y)ydx2 yx2(1 f (y) x1 f (y)22f (y)1f (y) 1 f (y)2x21 f (y)3 x2(1 f (y)x21f (y)3x 2x nx e尸二、(5分)求极限iim(e一e-)x,其中n是给定的正整数.x 0n解：因1因此x 2x e e lim (x 0 xeA lim x 02x ex 2x e e elimx 02x ee lim (一 x 0nx e)xnx e/nx e nnxx 2x.e 2eelim0nx e2户221nexA enx nen exlxm0(1且 limfee 2三、(15分)设函数f (x)连续，g(x)并讨论g (x)在x 0处的连续性.因 g(x).f(x)limx 0 x110 f (xt)dtA, A为常数J求g (x)A和函数f(x)连续知,f(0)眄 f(x)limxlimf0 f (xt)dt,故 g(0)10 f (0)dtf(0)因此，当x0 时，g(x)lxm0 g当x 0时,g (x)g (0)limjg(x)lim g (x) lim x 0 (u)du ,故x0 f (u)du lim lim世x 01f (0) 0x0 f (u)dug(0)x12 xf (x)x1 x r0 fdt x 0x0 f (u)duxf(x)xx0f(t)dtlim2x 0 x这表明g (x)在x 0处连续.四、(15分)已知平面区域D (x,y)|0,0lim0f(x)2xA2sin y .(1) xe dyLyesin x .dx(2) .-xesinydyLyesinydxsin y .xe dyL 5 2.2lim4x 0x2sin xye dx;证：因被积函数的偏导数连续在 D上连续，故由格林公式知x0 f (u)duL为D的正向边界,试证:sin y .sinx ., sin y、/sinx、(1) xe dy ye dx (xe ) ( ye ) dxdy ld xysin ysin x、(e e )dxdy/Dsin ysin xxe dy ye dx /Lsin ysinx、(xe ) ( ye ) dxdyd xysin y sin x、(e e )dxdyD而D关于x和y是对称的，即知sin y sinx、(e e )dxdyDsin y sinx、(e e )dxdyD因此sin ysin xsin ysin x .xe dy ye dx xe dy ye dxLL2(1t1 2t4sin xesin x2!4!2(1 t2)一 2sin x1 cos2x5 cos2xsin ysin y .口 xe dy ye dxLsin y sin xsin y sin x、(e e )dxdy (e e )dxdyDDsin ysin y 1, sin:xe dy ye dx 一 (e L D2 D Dsin x1/ sin y sinx、e )dxdy (e e )dxdy2 D/ sin x sinx、(e e )dxdyD, sin x(esinxe )dxcos2x2dxsin y .sin y .5 2xe dy ye dx 一五、（10分）已知 y1x2xxxe e / y2 xe线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程解设y1x 2xx xxe e , y2 xe e ,5 22ex, y3xex e2x e x是某二阶常系数.yxexe2x e x是二阶常系数线性非齐次微分方程y by cy f (x)的三个解，则y2 y1x 2x工e 和 y3y1e x都是二阶常系数线性齐次微分方程即y的解，因此y征多项式是by bycycy0的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为知，f(x) yi(i2)(1) 0,而 y by cy 0 的特c 2x2e，y1x2exxe4e2y2x0,2yif (x)和yi2x)e-2y1 xexx2e2x /4e (xxex 2x、e 2e )2xe )二阶常系数线性非齐次微分方程为xy y 2y ex2xex2( xe六、（10分）设抛物线y ax2bx 2lnc过原点.当0 x 1时,y 0,又已知该抛物线与X轴及直线x转体的体积最小.因抛物线(ax23(1 a)而此图形绕11所围图形的面积为 1.试确定a,b,c,使此图形绕3X轴旋转一周而成的旋_ 2y ax2bx)dtbx2lnc过原点，故c 1 ,于x轴旋转一周而成的旋转体的体积1(ax20bx)2dt122(ax -(103a) x)2 dtV(a)V (a)54 a(11 342 1 2a)0xdt 9(1 a) 0xdt1 a(13a)27(1 a)245(1a)427(1a)290a13(1 2a)40 40a畀14a 5 0因此rc 1.n七、(15 分)已知 un(x)满足 Un(x) Un(x)1 x .e (n1,2,),且Un-,求函数项