.第四章 微分中值定理与导数的应用习题.4.1 微分中值定理1 填空题（）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立的是（）设，则有 3 个实根，分别位于区间中2 选择题（）罗尔定理中的三个条件:在上连续，在内可导，且，是在内至少存在一点，使成立的（ B ） A 必要条件 B充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件（）下列函数在上满足罗尔定理条件的是（ C ）A. B. C. D. （）若在内可导，且是内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B ）A B 在之间C D 3证明恒等式：证明： 令，则，所以为一常数设，又因为，故 4若函数在内具有二阶导数，且，其中 ，证明:在内至少有一点，使得证明：由于在上连续,在可导,且，根据罗尔定理知，存在， 使 同理存在，使 又在上符合罗尔定理的条件，故有，使得5 证明方程有且仅有一个实根证明：设，则，根据零点存在定理至少存在一个， 使得另一方面，假设有，且，使，根据罗尔定理，存在使，即，这与矛盾故方程只有一个实根6 设函数的导函数在上连续，且，其中是介于之间的一个实数 证明： 存在, 使成立.证明： 由于在内可导，从而在闭区间内连续，在开区间内可导又因为，根据零点存在定理，必存在点，使得 同理，存在点，使得因此在上满足罗尔定理的条件，故存在， 使成立7. 设函数在上连续, 在内可导. 试证:至少存在一点, 使 证明： 只需令，利用柯西中值定理即可证明.8证明下列不等式（）当时，证明： 设，函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，且, 故, 即 ()因此， 当时，（）当 时，证明：设，则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件，有因为，所以，又因为，所以，从而 4.2 洛毕达法则1 填空题（） （） 0 （）= （）1选择题（）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）A B C 不存在D =（） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A B C D 3 求下列极限（） 解： =（）解： = （） 解：（） 解：（） 解：，（） 解：（） 解：（） 解： =（） 解： 因为，所以=14.3函数的单调性与曲线的凹凸性1 填空题（） 函数的单调增加区间是，单调减少区间（）若函数二阶导数存在，且，则在上是单调 增加 （）函数在内单调增加，则（）若点（1，3)为曲线的拐点，则，曲线的凹区间为，凸区间为 2 单项选择题（）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数.A. B. C. D. （）设，则在区间内（ B ）A. 单调增加，曲线为凹的 B. 单调减少，曲线为凹的 C.单调减少，曲线为凸的 单调增加，曲线为凸的（）在内可导, 且,当 时, ,则( D )A. 任意 B. 任意C. 单调增 D. 单调增（）设函数在上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ）A. B. C. D. 2 求下列函数的单调区间（）解：，当时，,所以函数在区间为单调增加； 当时，所以函数在区间为单调减少（）解：，当，或时，,所以函数在区间为单调增加；当时，所以函数在区间为单调减少（）解： ，故函数在单调增加3 证明下列不等式（）证明： 对任意实数和, 成立不等式证明：令，则， 在内单调增加.于是, 由 , 就有 , 即 （）当时, 证明：设， ，由于当时，, 因此在单调递增, 当 时, , 故在单调递增, 当 时, 有.故当时, 因此（）当 时，证明：设, ，当，所以在单调递增, 当 时, , 故在单调递增, 从而当 时, 有. 因此当 时，4 讨论方程(其中为常数)在内有几个实根解：设 则在连续, 且，由，得为内的唯一驻点在上单调减少，在上单调增加 故为极小值，因此在的最大值是,最小值是（） 当或时,方程在内无实根； （） 当时,有两个实根；（） 当时，有唯一实根5 试确定曲线中的a、b、c、d，使得处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上解： ,，所以解得： 6求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（） 解： , ,令,得，当时不存在当或时, ,当或时, 故曲线在上是凸的, 在区间和上是凹的，曲线的拐点为 （）拐点及凹或凸的区间解： ，当时，不存在；当时， 故曲线在上是凸的, 在上是凹的，是曲线的拐点, 7利用凹凸性证明: 当时, 证明：令, 则, 当时, , 故函数的图形在上是凸的, 从而曲线在线段（其中）的上方，又, 因此,即4.4 函数的极值与最大值最小值1 填空题（）函数取极小值的点是（） 函数在区间上的最大值为，最小值为 2选择题（） 设在内有二阶导数，问还要满足以下哪个条件，则必是的最大值？（C ）A 是的唯一驻点 B 是的极大值点C 在内恒为负 D不为零（） 已知对任意满足，若，则（B）A. 为的极大值 B. 为的极小值C. 为拐点 D. 不是极值点, 不是拐点（）若在至少二阶可导, 且,则函数在处( )A 取得极大值 B 取得极小值 C 无极值 D 不一定有极值3 求下列函数的极值（）解：由，得，所以函数在点取得极小值（）解：定义域为，令得驻点，当时，当时，因此为极大值4 求的在上的最大值与最小值解：由，得, 而, 所以最大值为132，最小值为75 在半径为的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积最大解：设圆锥体的高为, 底半径为,故圆锥体的体积为，由于，因此 ，由，得，此时由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在的内部取得. 现在在内只有一个根,故当, 时, 内接锥体体积的最大6. 工厂与铁路线的垂直距离为, 点到火车站的距离为. 欲修一条从工厂到铁路的公路, 已知铁路与公路每公里运费之比为，为了使火车站与工厂间的运费最省, 问点应选在何处？解: 设, 与间的运费为, 则 （）， 其中是某一正数 由 , 得. 由于, , , 其中以为最小, 因此当AD=km时, 总运费为最省7 宽为的运河垂直地流向宽为的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解： 问题转化为求过点的线段的最大值. 设木料的长度为, ，木料与河岸的夹角为，则，且 , 则 ，由得, 此时，故木料最长为4.5 函数图形的描绘求的渐近线.解：由 ，所以为曲线的铅直渐近线因为 所以为曲线的斜渐近线第四章 综合练习题1填空题（） 0 （） 函数在区间内单调减少，在区间内单调增加（） 曲线的渐近线是（） 1 2 求下列极限（） 解：（） 解：=3 求证当时， 证明： 令, 则 , 当时, ，故在单调增 当时，有，即 4 设在上可导且，证明：存在点使.证明： 设, 则，且由拉格朗日中值定理知, 存在，使, 即5 设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值, 且, , 证明： 存在,使得证明： 设分别在取得最大值， 则, 且 令当时, , 由罗尔定理知, 存在, 使, 进一步由罗尔定理知, 存在，使，即当时, ,，由零点存在定理可知，存在，使 由于，由前面证明知, 存在，使，即6 设,证明方程有且仅有一个正的实根证明：设当，显然只有一个正的实根下考虑时的情况先证存在性：因为在内连续，且，由零点存在定理知，至少存在一个，使，即至少有一个正的实根再证唯一性：假设有，且，使，根据罗尔定理，存在，使，即，从而，这与矛盾故方程只有一个正的实根7 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8时开始工作，在小时之后，生产出个产品问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？解：因为, 令,得 又当时，函数在上单调增加；当时，函数在上单调减少故当时，达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高