高等代数试题与答案 一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. 令Q是正有理数集，若规定，则( ) (A) 是代数运算且满足结合律 (B) 是代数运算，但不满足结合律 (C) 不是Q上的代数运算 (D) (A),(B),(C)都不对2. 域F有无穷多个元素，域F上的多项式，则( ) (A) f(x)在域F上至少有一个根 (B) f(x)在域F上最多有n个根 (C) f(x)在域F上没有根 (D) f(x)在域F上恰有n个根3. 虚数是有理数域上的( )(A) 代数元 (B) 超越元 (C) 可逆元 (D) 既约元4.若Dn表示n个数码的扰乱排列总数，则Dn( ) (A) Dn1+Dn2 (B) nDn1 (C) (n1)(Dn1+Dn2) (D) n (Dn1+Dn2)5. 整系数多项式的有理数根，(p,q)=1，则( ) (A) pan，qan (B) pa0，qa0 (C) pan，qa0 (D) pa0，qan二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. 自然数a与b的加法定义所满足的两个条件是 7. 函数f(x)是上凸函数的定义为 8. 整环R中的元素p是R中的不可约元素，则pq，p不是可逆元，由p=ab 9. 由5个元素取7个的可重复组合数是 10.整数环Z上的多项式为本原多项式，则 (an,an1,a1,a0) 三、简述题(每小题7分，共14分)11. 试给出一个从整数集Z到自然数集N的的单映射，但不是满映射12. 试给出一个从整数集Z到自然数集N的的双射三、计算题(每小题10，本题共40分)13. 设x，y，z是正实数，且xyz=10，求2x+3y+4z的极小值14. 求(x+y+z)6展开合并同类项后共有多少项，并指出项x2y3z的系数15. 求从1到2 000的自然数中能被5或7或11整除的自然数个数16. 从n个数码1,2,n中取k()个数码，但不允许取两个连续数码(如1，2不能连续取)，求共有多少种取法四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 设Z，证明集合R对于普通数的加法和乘法构成一个整环18. 利用反归纳法证明：n个正数的算术平均值大于等于这n个正数的几何平均值，即R) 模拟练习之二一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. 整环中元素c是不可约元素，则( ) (A) cq，c可逆元素 (B) cq，c可逆元素，cabca或cb (C) cq，c可逆元素，caba可逆或b可逆 (D) c=q且c是可逆元素2. 函数f(x)=n+1是整数集合Z到自然数集合N的( ) (A) 单映射 (B) 满映射 (C) 双射 (D) 恒等映射3. p是有理数域上的( )(A) 超越元 (B) 代数元 (C) 可逆元 (D) 不可约元4. 设q1，q2，q3是区间0，p上的三个数，则( ) (A) (B) (C) (D) 5. 设d(x)是f(x)和f (x)的公因式，则( ) (A) d(x)是f(x)的二重因式 (B) d(x)是f(x)单因式 (C) d(x)是f(x)的三重因式 (D) d(x)是f(x)k重因式二、填空题(每小题3分，本题共15分)6. 自然数加法定义为 7. 若d是a和b的最大公因式，则d应满足的两个条件为 8. 掷两颗骰子一共有多少种不同情况 9. n个数码1，2，,n的扰乱排列总数是 10. 反归纳定理为 三、简述题(每小题7分，共14分)11. 空集合的幂集是空集合码？应该是什么？12. 在模12的剩余类环Z12中哪些元素是可逆元素三、计算题(每小题10，本题共40分)13. 求在剩余类环Z12中的根14. 求(x+y+zt)10展开合并同类项后共有多少项，并指出项x5y2z3的系数15. 上11个台阶，如果每次只能走一阶或二阶，问有多少种不同走法16. 设Z，求出R中所有可逆元素和不可约元素四、证明题(每小题10分，本题共20分)17. 证明在整环R中任意两个元素都有最大公因式且对R中的三个元素a，b，c，若(a,b)1，(a,c)1，则(a,bc)118. 如果域F含有无限个元素，求证Fx上两个多项式f(x)和g(x)相等，从代数的观点和函数的观点是一致的模拟练习之一解答一、单项选择题1. B2. B3. A4. C5.C二、填空题6. a+1=a；a+b=(a+b)7. q1+q2=1,q10，q20，f(q1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2)8. a为可逆元或b为可逆元9. 10. 1三、简述题11. 如 (nN)，(不惟一) 12. 如 (nN)，(不惟一)四、计算题13. 因为x，y，z0，所以 所以2x+3y+4z的极小值是 14. 共有；x2y3z系数为 15. 设A能被5整除的自然数，B能被7整除的自然数 C能被11整除的自然数则，所以，400285181572736575116. 用f(n,k)该数，f(n,k)=f(n1,k)+f(n2,k1)，f(n,k)=参考原教材P152：定理5.1五、证明题17. 易知 R对于数的加法和乘法封闭，在R中有零元，即存在负元素，满足结合律，且对满足分配律存在,，总之，R是整环18. 当n=2,4,8,2m时命题正确设命题对n=k时正确，即则，所以 ，即 因而 ，所以命题对一切自然数成立模拟练习之二解答一、单项选择题1. C2. B3. A4. C5.D二、填空题6. a+1=a；a+b=(a+b)7. da，db，a,b的公因式d 8. 21种 9. 10. 无限个自然数满足定理；k成立k1成立三、简述题11. 不是应为P()= 12. 在Z12中是可逆元素四、计算题13. 是方程的根 14. 共有；x5y2z3系数为 15. 对台阶作归纳当n=0时，f(0)=1；当n=1时，f(1)=1；当n=2时，f(2)=2=f(1)+f(0),当n=3时，f(3)=3=f(2)+f(1)；一般地，f(n)=f(f1)f(n2)f(4)=5；f(5)=8；f(6)=13；f(7)=21；f(8)=34；f(9)=55；f(10)=89；f(11)=144走完11个台阶可以有144种不同走法16. R中的可逆元素是；R中的不可约元素为，p为不等于2的素数五、证明题17. 由于(a,b)1(ac，bc)c所以，有1(a，c)(a，(ac，bc)(a,，ac)，bc)1(a(1，c)，bc)(a，bc)18. 设，0，从函数的观点，f(x)g(x)有无数个根，但f(x)g(x)最多有n个根，所以所以，从代数上f(x)=g(x)，即ai=bi(i=0,1,2,n)所以，它们一致.1