天 津 师 范 大 学本科毕业论文（设计）题目：笛沙格定理在初等几何中的应用学 院：数学科学学院学生姓名：朱保军学 号：专 业：数学与应用数学年 级：2009级完成日期：2013年5月13日指导教师：武猛笛沙格定理在初等几何中的应用摘要：笛沙格定理是射影平面上的重要定理许多定理以它为依据,利用它也可以证明初等几何中一些共线或共点问题本文将抓住笛沙格定理的精髓：两个对应三点形、透视轴、透视中心通过笛沙格定理的介绍,展示其图形之美之后，着重介绍其在几何作图、共线问题、共点问题、动态问题中的应用而且,还可轻易看出在初等几何中一些繁琐证明或难以得证的问题,通过笛沙格定理便一目了然本文必将充分展示出笛沙格定理在初等几何中的重要作用,给初等几何中一些共线或共点问题带来简易之路关键词：透视轴；透视中心；笛沙格定理；共点问题；共线问题The Application of the Desargues Theorem to Elementary GeometryAbstract: The Desargues theorem is an important theorem on the projective plane. Many theorems are based on it, using it can also prove some collinear or concurrent problems in the elementary geometry. This thesis will grasp the Desargues theorems pith that there are two corresponding triangles, perspective axis, perspective centre. By the introduction of the Desargues theorem, showing the beauty of its picture. After that, we focus on the application to geometric drawing, collinear, concurrent, dynamic problems. Moreover, we can easily see some problems of complex proof or hard-to-get proof in the elementary geometry, but they will be clear at a glance by the Desargues theorem. This thesis is bound to fully show the important role of the Desargues theorem in the elementary geometry. Whats more, it will simplify the way to the some problems of the collinear or concurrent in the elementary geometry. Key words: perspective axis; perspective centre; Desargues theorem; concurrent; collinear目 录1 引言(1) 2 笛沙格定理相关概念及其定理(2) 2.1 基本概念(2) 2.2 笛沙格定理(3) 2.3 笛沙格逆定理(4) 2.4 推论(5) 2.5 笛沙格构图(6) 3 笛沙格定理在初等几何中的应用(7) 3.1 几何作图(7) 3.2 共线问题(7) 3.3 共点问题.(9) 3.4 动态问题(10) 3.5 三维拓展(12) 参考文献(14) 1 引言吉拉德笛沙格（Girard Desargues）,法国里昂, 1591年出生,1661年逝世于里昂,法国建筑师、工程师和著名数学家,射影几何学创始人之一笛沙格在射影几何方面硕果累累,率先提出无穷远元素、调和点组、对合等新的概念,以及射影几何学中著名定理笛沙格定理在当时人才辈出的时代,笛沙格以其独创精神,脱颖而出,得到了费马、笛卡尔、帕斯卡等数学界名流的赏识但是,那个年代盛行的是解析几何,笛沙格依然敢于开创射影几何的新领域,不畏众多人的反对和批评,坚持创作并大量出版但作品并没有引起多大的关注,直到1845年,沙勒偶然发现了笛沙格著作的手抄本试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿，才引起人们广泛关注,从那时起,这本书被列为近世几何的经典著作笛沙格定理是射影几何学中四大定理之一我们定义射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变图形性质的几何学分支学科射影几何起着一个特殊的作用，它能把几何学中的射影几何、仿射几何、欧式几何联系起来，使几何学成为一个完整系统而且，射影几何有着广泛的应用，在绘画、摄影、航空、测量等方面尤为突出射影几何的发展也是长期研究形成的，它最早开始于绘画它的发展得助于欧洲文艺复兴时期透视学的快速发展那时，学者在绘画和建筑方面非常痴迷，大力研究在平面上如何表现实物的图形学者发现，一个画家将一个事物画在一张纸上，眼睛好比投影中心，把事物投影到纸上，然后再画出来在画的过程中，有些元素的相对大小和位置关系，有的变了，有的没变学者在这方面大力研究，因而渐渐的产生了新的概念和理论，最终，形成了射影几何学在射影几何中，有一基本概念交比，在射影变换下，交比具有不变形，利用这一性质可以推导出射影几何中许多其它重要性质射影几何学真正成为一门学科是在十七世纪，笛沙格为射影几何学做出了杰出的贡献人们以他的名字命名的笛沙格定理：“如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上，反之也成立”，就是射影几何的基本定理笛沙格定理的重要意义不仅在于它可以推出一系列射影几何命题，还在于它是平面射影几何的基础之一许多定理以它为根据,利用它还可以证明初等几何中一些共点或共线问题,在解决初等几何问题具有独特之处2 射影几何基本概念及定理2.1 基本概念定义2.1 在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点；一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做无穷远直线我们可以看出在一组平行线交于无穷远点一点；一平面内所有直线都与无穷远直线有交点定义2.2 平面内不共线的三点与其每两点的连线所组成的图形叫做三点形；平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性三点形与三线性实际上是一种图形（如图2-1）,点叫做顶点,直线叫做边图2-1定义2.3 如果两个三点形的对应边交点共线,则这条直线叫做透视轴如果两个三点形的对应顶点连线共点,则这个点叫做透视中心两个三点形和(如图2-2),我们可知它们对应边的交点分别为,且三点共线,它们对应顶点的连线交于一点,此时,直线称为透视轴,点称为透视中心图2-2 定义2.4 共线三点的单比表示为,定义其中 是有向线段,称为基点,为分点那么，共线四点的交比等于两个单比与的比,即,其中叫做基点偶,叫做分点偶如果,我们称为的第四调和点其中，此定义只是为了解释以下推论中的第四调和点，只需了解第四调和点即可定义2.5 在射影平面里设有点，直线及其相互结合和顺序关系所组成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，各作图改为它的对偶作图，其结果形成另一个命题，这两个命题叫对偶命题定理2.1（对偶原则） 在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立2.2 笛沙格定理我们已经介绍了三点形和三线性，还有第四调和点和对偶原则下面我们介绍笛沙格定理定理2.2（笛沙格定理） 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点,则对应边的交点在一直线上证明 设有三点形和,它们对应顶点的连线交于一点,其对应边的交点分别为下面我们分两种情况证明在一直线上图2-3情况（1） 三点形和分别在两个不同的平面和上(如图2-3)因为,所以和共面,二直线和必相交,交点在平面和的交线上同理,与相交,与相交,且相应的交点都在二平面和的交线上于是三点共线情况（2） 三点形和在同一平面内（如图2-4）通过作不在平面内的直线,在直线上任取两点和,且不与点重合因为,所以我们可知共面,且与相交,我们记,同理我们可知, ,三点形所在的平面与平面不同（例如不在内）由于三点形与不同在一平面内,都通过点,且记,由情况（1）可知,共线,即在平面所决定的平面内,但也在平面内,则在两个不同的平面与平面的交线上同理可证, 都在平面与平面的交线上,所以,在平面与平面的交线上,所以,共线证毕图2-42.3 笛沙格逆定理 笛沙格定理的逆命题是如果两个三线性对应边的交点在一直线上,则对应顶点的连线交于一点由于三线性与三点形实际上是一种图形则可得如下定理定理2.3(笛沙格逆定理) 如果两个三点形对应边的交点在一直线上,则对应顶点的连线交于一点笛沙格定理与其逆定理是对偶命题,由对偶原则知,笛沙格定理成立,则其逆定理也成立,这为笛沙格逆定理的证明起到了事半功倍之效由笛沙格及其逆定理说明,若两三点形有透视中心,则必有透视轴反之,若有透视轴则必有透视中心其中,这样的两个三点形叫做透视三点形我们必须指出，笛沙格定理的证明，要先证空间的情况,因当两个三点形在同一平面时,进行证明时要借助空间作图,否则是不能证明的所以只就平面射影几何而言,笛沙格定理必须选作公理笛沙格定理的证明还有很多种,可参考福建师大数学