本word文档可编辑可修改 数 学建模参考答案2约 4018762设银行 的年利率为 02，则五年后 的一百万元相当于现在 的3 N Kn(T 10) / p，（T 10)，K是比例常数二、1、建立数 学模型 的基本方法：万元3在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N将和下列因素有关：（1）参加展览会 的人数 n；(2)气温 T超过 10；(3)冰淇淋 的售价由此建立机理分析法，统计分析法，系统分析法2、优化模型 的一般形式 的冰淇淋销量 的比例模型应为。二、简答题：（ 25分）1、建立数 学模型 的基本方法有哪些？写出建模 的一般步骤。（2、写出优化模型 的一般形式和线性规划模型 的标准形式。（三、（每小题 15分，共 60分）5分）10分）u f ( x )将一个优化问题用数 学式子来描述，即求函数，g ( x ) 0( g ( x ) 0 ),i 1,2,., p.1、设某产品 的供给函数(p)与需求函数 f ( p)皆为线性函数：ii在约束条件h ( x ) 0,i 1,2,.,m.i( p) 3p 4,f ( p)kp 9xf ( x )其中 p为商品单价，试推导 k满足什么条件使市场稳定。2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国 的柠檬生产。随后，下 的最大值或最小值，其中为设计变量（决策变量），为目标函数x为可行域美国又从澳大利亚引入了介壳虫 的天然捕食者澳洲瓢虫。后来，使用来消灭害虫，柠檬园主想利用 DDT进一步杀死介壳虫。谁料， DDT同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数 学模型解释这个现象。DDT被普通min( or max) u f ( x ) xs. t . h ( x ) 0,i 1,2,.,m.ig ( x ) 0( g ( x ) 0),i 1,2,., p.ii三、1、解：设 Pn表示 t=n时 的市场价格，由供求平衡可知：3.建立捕鱼问题 的模型，并通过求解微分方程 的办法给出最大 的捕捞量( p ) f ( pn)n 13pn 14kpn93k5即：pnpn 1k数 学建模试卷第 1页（共 6 页）数 学建模试卷第 2页（共 6页） 3k3 5)51T1 (abxxTpn( p n 2y)dtkkk0经递推有：n 1nn33k5k() p0()ccfkx = +ln y(T ) ln y(0) =fn 1p表示初始时 的市场价格aab0y = +ln(T) ln(0) =b3当n时 :若1时 ,即 0 k 3,则p收敛 ,即市场稳定。n当使用杀虫剂 DDT后，设杀死介壳虫，x(t)，澳洲瓢虫y(t)k2、解：依据题意，设介壳虫 的数量为 x(t)，澳洲瓢虫 的数量为 y(t),则有数模方程dxax x bxy (a )x bxycy y fxy (c )y fxydtdy则有模型为：组：dtdxax bxycadt（1）式中 a b c f均大于零。显然此时有： xydyfbcy f ydtdxdyax bxy即介壳虫 的数量增加，澳洲瓢虫 的数量反而减小。解方程组（ 1）cy f y(a by)dyyfx c dxx得：4、解：设某水域现有鱼量 x，由于受资源限制所能容纳 的最大鱼量 x，高自然m增长率 r，捕捞增长率 k，按人口 的逻辑模型建立微分方程。aln y cln x fx by kdxdtx ) kxay xc e fxbykrx (1xmy xca（3）kdxr krfce eby要保持鱼量平衡0，设平衡点为 x，解得 x00xmdt式（3）给出一族封闭曲线，显然 x(t)、y(t)即为以下为周期（ T0） 的周期函数，dx设f (x),考虑 f (x)在 x 的泰勒展式0由于调查 的虫子 的数量为一个周期内 的均值dtf (x) f (x )(x x ) 0(x x0)f (x ) k r01 1 yT00则有 x(c)dtT0f y当 f (x )0时0f (x)与 x x同号0x为不稳定平衡点0数 学建模试卷第 3页（共 6 页）数 学建模试卷第 4页（共 6页） 当 f (x )0时0f (x)与 x x异号0x为稳定平衡点0f (x )0即 r k0设 f ( x) rx(11x )xmf2(x) kx由于 k r曲线 f (x)与 f (x)有交点，因 f (x)在原点切线为 y rx121xm2解得，易知当 x0时，取得最大捕捞量112rkr，f2(x)rx 0xm24r最大捕捞量为 xm4数 学建模试卷第 5页（共 6 页）数 学建模试卷第 6页（共 6页）