课 题：81椭圆及其标准方程（一）教学目标：1通过本节课教学，使学生理解椭圆的定义、椭圆的标准方程及其推导方法；2通过对椭圆定义的归纳和椭圆方程的推导，揭示椭圆知识的形成过程，逐步提高学生抽象概括能力、逻辑思维能力和运算能力，同时让学生欣赏数学的简洁美与和谐美；3通过教学，培养学生良好的思维习惯、严谨的科学态度以及不怕困难和勇于探索的精神教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导教学手段：计算机、实物投影仪教学方法：启发式、探究式神州六号飞船运行轨道全程图（资料图）图1教学过程：一、创设情境，导入新课 1由“神六”引入新课（1）大屏幕展示“神舟”六号飞船成功发射和运行轨道的资料图片（如图1）北京时间2005年10月12日9时整，搭乘两名航天员的中国第二艘载人飞船“神舟”六号，在酒泉卫星发射中心发射升空（2）由“神六”飞船的运行轨道引出课题板书：81椭圆及其标准方程（一）2让学生直观认识椭圆（1）“压扁”圆成椭圆图2用计算机课件模拟演示将圆“压扁”成椭圆的过程（如图2）类比圆的画法，导出椭圆的画法：将细绳的两端固定在硬纸板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔在纸板上慢慢移动，画出一个椭圆3师生共同画图体验请学生拿出课前准备的硬纸板、细绳、铅笔，自己动手画椭圆然后教师用多媒体演示画椭圆的过程二、引导探究，掌握新知1椭圆的定义（1）教师提出问题在上面的作图过程中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？（两个定点及绳长是不变的，点的位置是运动变化的）在此基础上，请学生阐述“绳长不变”的意义（2）学生概括椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 教学预案：若学生将定义叙述为“与两个定点、的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”，这时教师要说明椭圆是平面图形，故应在前面加上“平面内”三个字然后与学生共同探讨“满足平面内与两个定点、的距离的和等于常数的点的轨迹是否一定是椭圆？”由此引发学生大胆想象、质疑、推理，自我探究教师再通过计算机课件演示支持质疑，说明若这个常数等于，则点的轨迹是线段；若这个常数小于，则点的轨迹不存在；若这个常数大于，则点的轨迹是椭圆所以要使轨迹是椭圆，必须添加条件：“此常数大于”（3）强调定义的条件强调“平面内”三个字不可少，条件“常数大于”不可缺2椭圆应用的实例利用计算机课件演示，展现生活中椭圆的实例（如图3）图33.椭圆的标准方程（1）复习求动点的轨迹方程的基本步骤（由学生回答，不正确的教师给予纠正）（2）椭圆标准方程的探求（）建系以两定点、所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（如图4）设，则，（）设点（图4）设为椭圆上的任意一点，与、的距离的和等于()由定义得到椭圆上点的集合为（）列式将条件式代数化，得 （*）（）化简先让学生各自在练习本上自行化简，教师巡视教学预案：若学生采用两次平方的方法化简，最后应得到 （* *）在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出12位学生的推导过程利用实物投影仪展示出来，并请学生本人作简要陈述然后教师提出：有无较为简单的方法化简（*）式呢？请学生观察式子，引导学生联想等差中项的定义：“成等差数列”，知，成等差数列，可设 再设法消去，即可将（*）式化简为（* *）式若学生先想到利用等差中项的概念式化简得（* *）式，则师提出采用两次平方的方法请学生一试，也可得（* *）式的引入由椭圆的定义可知，,，O图图5让点运动到轴正半轴上（如图5），由学生观察图形自行获得，的几何意义，进而自然引进，此时，于是得，两边同时除以，得椭圆的标准方程为（3）标准方程的说明（）椭圆的标准方程既简洁整齐，又对称和谐；（）上述方程表示焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆，其中；（）以上的推导过程，没有证明“以满足方程的实数对为坐标的点都在椭圆上”，有兴趣的同学可在课后自行证明；（）如果椭圆的焦点在轴上，并且焦点为,则椭圆方程为，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程中的对换而得到的；（）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与与项分母的大小即可若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上三、应用举例，巩固新知例 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是、，并且经过点分析：解决问题的关键是求出，对于（1），易知椭圆中心在原点，焦点在根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆的标准方程，由已知条件及椭圆的定义求出值，再根据已知条件及、之间的关系求出的值，从而写出椭圆的标准方程为；对于（2），有两种解题思路，思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点到两个焦点、的距离之和为常数2）求出值，再结合已知条件和、间的关系求出的值，进而写出标准方程；思路2：先根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆方程的标准方程，再将椭圆上点的坐标代入此方程，并结合、间的关系求出、的值，从而得到椭圆的标准方程为四、回顾小结，归纳提炼1知识与技能层面的小结椭圆的定义；椭圆的标准方程；、之间的关系；2. 过程与方法层面的小结包括本节课所涉及到的数形结合的思想、化归与转化思想以及思维能力和运算能力；3情感、态度、价值观层面的小结五、课后作业，巩固提高1基础题：课本96页习题8.1 第2题、第3题2思考题：（1）比较焦点分别在轴上、轴上的两种椭圆的标准方程、，归纳它们各自的特点及相同点、不同点（2）如图，“神舟六号”载人飞船的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面200，远地点（离地面最近的点）距地面约350，并且、在同一直线上，地球半径约为6400，求“神六”运行轨道的方程（精确到1） 第 5页（共5页）