厦门大学高等数学(理工类)期中试卷学院系年级专业全校(理工A类) 考试时间 2010.11.28 1. （24分 每小题6分）求下列数列或函数的极限(1) ; (2) ;(3) ； (4) 解 （1）因为，因为，则.由夹逼极限准则，得.（2）因为当时，因此，.（3）.（4）。另解： .2. （24分 每小题6分）计算下列函数的导数或微分(1) 设求； (2) 设，求；(3) ，求；(4) 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数。解 （1），.（2）.（3） .（4）由两边求导，得，解得，.3（8分）求函数的间断点及其类型。解 函数在和处没有定义，故其间断点为和.在点，由于，即 ，故为函数的无穷间断点，属于第二类间断点。在点，由于存在，于是，为函数的可去间断点，属于第一类间断点. 4（12分）问取何值时，函数 在上（1）连续；（2）可导；（3）一阶导数连续？ 解 （1）因为当时，而时，极限不存在，因此，当时, 函数 在 处连续，从而函数在上连续； （2）由于，因此，当时，函数 在处可导，且；当时，所以，函数在处可导，因此，当时，函数 在上可导； （3）因为，因此，当时，.函数在上一阶导数连续. 5. （8分）设，求证：对任意自然数, 在中存在惟一的实根。证明 作辅助函数，易知在上连续，且 ，即， 由零点定理知，存在，使得，即在存在实根. 另一方面。由于，因此，函数在上单调减少，故在上最多一个零点，即在中存在惟一的实根. 6. （8分）证明恒等式：.证明 令，则当时， 因此，. 取，则，故. 7 （12分）设在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明：在内存在一点，使得。证明 作辅助函数， 由已知条件可知，在闭区间上连续，在开区间内可导，且， 由罗尔定理可证，在内存在一点，使得，即. 8. （10分）下面两题任选一题(1)设不恒为常数的函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明：在内至少存在一点，使得。证明 因为，且不恒为常数，则必存在一点，使得. 如果，由拉格朗日中值定理，存在，使得； 如果，由拉格朗日中值定理，存在，使得. （2）设在上可微，且，试证明在内至少有两个零点。证明 由，由极限的保号性，存在的一个右邻域，使得对于任意的，都有，即； 由，由极限的保号性，存在的一个左邻域，使得对于任意的，都有，即； 综上，存在满足，使得. 由于在上可微，则在上连续，即在上连续，由介值定理，存在，使得或. 由在上可微，分别在和上应用罗尔定理，存在，使得.因此，在内至少有两个零点.