本科课程设计报告项 目 名 称： 基金投资计划的数学模型课 程 名 称： 数学建模 姓 名： 学 号： 院 系 专 业： 旅游管理（高尔夫） 指 导 教 师： 教 师 单 位： 旅游学院 开 课 时 间：20 20 学年度第 二 学期 大学教务处20 年 6 月 10 日基金投资计划的数学模型 摘要：就基金投资决策建立了一个数学模型，在这个模型中，考虑了资金存入银行和购买国库券两种投资方法。希望解决在保证n年末仍能拥有原有基金额M万元和每年颁发大致相同数额奖金的情况下，使得每年的奖金达到最大值在求解的过程中，根据银行现行存取款规定，采用单利计算年息并认为每年仅购买一次国库券，一旦有可利用资金就进行一次资金的分配。我们应用LINDO软件求出最优解，即发放奖金数额的最大值，并给出了具体的利用方案，还进行了验证。模型的重要结论是：仅存款，最高奖金为109.8170；既存款又购买国库券，最高奖金为131.9256；第三年将奖金提高20%，最高奖金为128.6450关键词：基金投资；最优；数学建模1. 问题重述某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1 1只存款不购国库券；2 2可存款也可购国库券。3学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.142. 问题分析2.1单利计算：银行现行政策一般采取单利计算法，即在计算利息时，不论期限长短，仅以本金计算利息，所产生的利息不再加入本金重复计算利息。计算公式为：利息 = 本金 利率 N年后本息和 = 本金 （1 + 存款期限 利率）；2.2 基金会每年用一部分本息奖励师生，即每年发放一次奖金，且每年的奖金数额大致相等；2.3 保证n年末仍保留基金数额M；2.4 为简化问题，可以将存取款时间定为每年1月1日；2.5 每次取出的钱用来（1）发放奖金 （2）存入银行或者购买国库券；2.6 在问题一中，存取款在下一年年初，刚好为一年，要想获利最大，则活期存款和半年期存款不予考虑；2.7 在问题二中，要求同时购买国库券和银行存款，假设在定期存款和购买国库券期间不取出本息，只在到期年的年初取出；2.8 在问题三中，要求第三年发放的奖金额增加20%，考虑为由于投资收益增加而使奖金数额增加，不考虑提取本金的情况；3. 利用数学建模求解3.1问题假设（1）每年所发放的奖金金额大致相同，且一次性发放；（2）银行利率在n年保持不变；（3）学校在每年年初发放奖励给优秀师生；（4）存取款均在年初（假设为每年1月1日）；（5）利息、到期存款和国库券取出并发放奖金后马上再存入银行或者购买国库券，时间间隔不计；（6）不考虑纳税金额，采取单利计算；（7）假设在n年间国库券每年只发行一次，且每年都是在1月1日发行；（8）当符号下标小于或等于0的时候，该项为0，M0 = M除外； (9) 假设定期存款期间不取出本息3.2 符号说明Ai:表示第i年年初存入银行的活期基金数；Bi:表示第i年年初存入银行的半年期的基金数；Ci表示第i年年初存入银行的一年定期基金数；Di表示第i年年初存入银行的两年定期基金数；Ei：表示第i年年初存入银行的三年定期基金数；Fi表示第i年年初存入银行的五年定期基金数；Xi：表示第i年购买两年期国库券基金数；Yi：表示第i年购买三年期国库券基金数；Zi：表示第i年购买五年期国库券基金数；m：表示每年发放的奖金数额Mi：表示第i年年初可投资的基金数额；3.3模型的建立根据以上的问题分析，建立数学满足以解决“每年发放最高奖金额”问题问题一 只存款不购国库券根据单利计算方法，第i年年初可利用的基金数额为（根据问题分析，活期存款和半年期存款不予考虑）Mi =Ci-1 (1+1.800%) + Di-2(1+21.944%) +Ei-3（1+32.160）+Fi-5（1+52.304%）- m（i=0,1,2,3）同时变量还要求以下关系：原有基金一定：M1 = M本年度年初可用基金即是投资到银行存款和购买国库券的资金总和：Mi = Ci +Di +Ei +Fi 要保留原基金额：Mi+1 + Di(1+0,792%) + Ei (1+0.792%) + Ei-1(1+20.792%) + Fi(1+0.792%) + Fi-1(1+20.792%) + Fi-2(1+30.792%) + Fi-3(1+40.792%)=M问题二：可存款也可购买国库券根据问题的假设可知购买国库券是在1月1日购买，购买以后和银行存款同时投资，时间间隔不计。Mi=Ci-1(1+1.800%) + Di-2(1+21.944%) +Ei-3（1+32.160%）+Fi-5(1+52.160%) + Xi-2 (1+22.55%) + Yi-3(1+32.89%)+ Zi-5 (1+53.14%) - m变量满足一下关系： M1=M Xi+Yi+Zi+Ci+Di+Ei+Fi=Mi Mi+1 + Di(1+0,792%) + Ei (1+0.792%) + Ei-1(1+20.792%) + Fi(1+0.792%) + Fi-1(1+20.792%) + Fi-2(1+30.792%) + Fi-3(1+40.792%)+ Xi-1 (1+2.55%) + Yi-2(1+22.89%)+Yi-1(1+2.89%)+ Zi-5 (1+53.14%)+Zi-4 (1+43.14%)+Zi-3 (1+33.14%)+Zi-2 (1+23.14%)+Zi-1(1+3.14%)=M问题三：学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%，即M 3 = Ci-1(1+1.800%) + Di-2(1+21.944%) +Ei-3（1+32.160%）+Fi-5(1+52.160%) + Xi-2 (1+22.55%)+ Yi-3 (1+32.89%)+ Zi-5(1+53.14%)-1.2 m3.4模型的求解问题一 用数学表达描述如下目标函数 Max m约束条件：M1=MMi= Ci-1 (1+1.800%) + Di-2(1+21.944%) +Ei-3（1+322.1160）+Fi-5（1+52.304%）- m Ci +Di +Ei +Fi =MiMi+1 + Di(1+0,792%) + Ei (1+0.792%) + Ei-1(1+20.792%) + Fi(1+0.792%) + Fi-1(1+20.792%) + Fi-2(1+30.792%) + Fi-3(1+40.792%)=M Mi, Bi,Ci,Di,Ei,Fi =0 当M=5000万元，i=10年，用LINDO软件求解，结果为：m=109.8170验证情形1，考虑两种极端情况（1） M万元每年用来存一年定期，择10年获利为：5000(1+1.8%)10-5000=976.5,所以平均每年的奖金额为97.65万元 （2）M万年每年用来存五年定期则，10年获利为5000（1+2.304%5)2-5000=1218.84,所以每年的奖金额为121.84万元。通过对比可知，加尔达结果介于两种计算情况之间，模型成立。问题二 假设国库券是1月1日发行 目标函数 Max m约束条件：M1=MMi=Ci-1(1+1.800%) + Di-2(1+21.944%) +Ei-3（1+32.160%）+Fi-5(1+52.160%) + Xi-2 (1+22.55%) + Yi-3(1+32.89%)+ Zi-5 (1+53.14%) - mXi+Yi+Zi+Ci+Di+Ei+Fi=Mi Mi+1 + Di(1+0,792%) + Ei (1+0.792%) + Ei-1(1+20.792%) + Fi(1+0.792%) + Fi-1(1+20.792%) + Fi-2(1+30.792%) + Fi-3(1+40.792%)+ Xi-1 (1+2.55%) + Yi-2(1+22.89%)+Yi-1(1+2.89%)+ Zi-5 (1+53.14%)+Zi-4 (1+43.14%)+Zi-3 (1+33.14%)+Zi-2 (1+23.14%)+Zi-1(1+3.14%)=MMi,Ci,Di,Ei,Fi,Xi,Yi,Zi =0当M=5000，i=10年，计算。此模型求解是一个线性规划问题，用LINDO软件求解得，m=131.9256问题三 学校在基金到位后的第三年要举行百年校庆，这一年的奖金比其他年多20%，用数学表达描述目标函数：Max m约束条件M1=M Mi=Ci-1(1+1.800%) + Di-2(1+21.944%) +Ei-3（1+32.160%）+Fi-5(1+52.160%) + Xi-2 (1+22.55%) + Yi-3(1+32.89%)+ Zi-5 (1+53.14%) - mXi+Yi+Zi+Ci+Di+Ei+Fi=MiMi+1 + Di(1+0,792%) + Ei (1+0.792%) + Ei-1(1+20.792%) + Fi(1+0.792%) + Fi-1(1+20.792%) + Fi-2(1+30.792%) + Fi-3(1+40.792%)+ Xi-1 (1+2.55%) + Yi-2(1+22.89%)+Yi-1(1+2.89%)+ Zi-5 (1+53.14%)+Zi-4 (1+43.14%)+Zi-3 (1+33.14%)+Zi-2 (1+23.14%)+Zi-1(1+3.14%)=M M 3 = Ci-1(1+1.800%) + Di-2(1+21.944%) +Ei-3（1+32.160%）+Fi-5(1+52.160%) + Xi-2 (1+22.55%)+ Yi-3 (1+32.89%)+ Zi-5(1+53.14%)-1.2 m Mi,Ci,Di,Ei,Fi,Xi,Yi,Zi =0当M=5000万元，i=10年，进行具体分析，现在可用LI