无人机的数学模型无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机。可反复使用多次，广泛用于空中侦察、监视、通信、反潜和电子干扰等。因此研究无人机控制系统的设计具有重要意义。要研究无人机动力学模型的姿态仿真，首先必须建立飞机的数学模型。在忽略机体震动和变形的条件下，飞机的运动可以看成包含六个自由度的刚体运动，其中包含绕三个轴的三种转动（滚动、俯仰与偏航）和沿三个轴的线运动。为了确切的描述飞机的运动状态，必须选择合适的坐标系。1.1常用坐标系1.1.1地面坐标系 地面坐标系是与地球固连的坐标系。原点A固定在地面的某点，铅垂轴向上为正，纵轴与横轴为水平面内互相垂直的两轴。见图1-1。 图1-1 地面坐标系1.1.2机体坐标系 机体坐标系原点在机的重心上,纵轴在飞机对称平面内，平行于翼弦，指向机头为正；立轴也在飞机对称平面内并垂直于，指向座舱盖为正；横轴与平面垂直，指向右翼为正，见图1-2。 图1-2 机体坐标系1.1.3速度坐标系 速度坐标系原点也在飞机的重心上，但轴与飞机速度向量V重合；也在对称平面内并垂直于，指向座舱盖为正；垂直于平面，指向右翼为正，见图2-3。 图1-3 速度坐标系1.2飞机的常用运动参数飞机的运动参数就是完整地描述飞机在空中飞行所需要的变量，只要这些参数确定了，飞机的运动也就唯一地确定了。因此，飞机的运动参数也是飞机控制系统中的被控量。被控量包括俯仰角、滚转角、偏航角、仰角、侧滑角、航迹倾斜角，航迹偏转角；同时利用副翼、方向舵、升降舵及油门杆来进行对飞机的控制。这些称为无人机飞控系统中的控制量。1.3.1 无人机六自由度运动方程式的建立 基于飞机运动刚体性的假设，我们就可以推导出飞机的一般数学模型为一组非线性微分方程组。根据牛顿定律，其运动方程应由两部分组成:一部分是以牛顿第二定律(动力定律)为基础的动力学方程组，由此解得无人机相对于机体坐标系的角度向量和角速度向量;另一部分则是通过坐标变换关系得出的运动学方程组确定出无人机相对于地面坐标系的位置向量和速度向量。根据牛顿第二定律F=ma可以列出无人机三轴力的动力学方程组： 按建立的力矩方程组为：通过坐标变换可以得出无人机的运动学方程组。根据无人机三个姿态角的关系： 2.3.2 无人机六自由度全面运动方程式的简化处理 采用微扰动法对这些非线性的方程进行线性化。假定所有运动参数对某一稳定飞行状态的变化极其微小。 都是微量。它们的二次方及乘积可以略去不记。这些角度的正切与正弦看成与这些角度的弧度数相等，而它们的余弦近似看成上。 因此，十二个一阶微分方程组可以化为: 关于各方程式是互相密切联系着的。由于这些方程式描述的运动是围绕飞机横侧方向(侧移、滚动和偏航)而进行的。 因此 这些方程描述的运动叫侧向运动。 其余的方程式，描述的运动是在通过飞机纵轴的平 面(对称平面)内进行的，叫纵向运动。这样，我们就可以把无人机的运动方程分成纵向运动方程组和侧向运动方程组来讨论，从而给我们研究无人机的运动规律带来了极大的方便。 无人机运动方程的状态空间表达式 根据前面所介绍到的小扰动线性化方法，以无人机的恒速、定高、直线和无侧滑的飞行作为基准运动，即可得到无人机纵向与横侧向运动的线性化方程式，经适当整理后我们就可以得到其运动方程的状态空间表达式。己知状态方程的表达式为，则对于纵向运动而言: 对于横侧向向运动而言: 于是，无人机纵向运动与横侧向运动的状态方程就分别如式(2.32)和式(2.33)所示： 3控制系统理论基础 3.1引言 PID 控制是最早发展起来的控制策略之一，由于其算法简单、以及可靠性高等特点，在实际的控制系统中得到了较为广泛的应用。但是随着工业生产的发展，控制系统变得越来越复杂，采用常规的PID控制技术已不能达到理想的控制效果。近年来，人们把智能控制与常规PID控制结合起来，形成所谓的智能PID控制。3.2 常规PID控制 常规的PID控制由比例单元(P)、积分单元(1)和微分单元(D)三部分组成。其输入e(t)与输出u(t)的关系为: 式中K。为比例增益，T为积分时间常数，Tt为微分时间常数，U(t)为控制量!e(t)为被控量y(t)和设定值r(1)的偏差，e(t)= r (t)-Y (t). 比例 、积分和微分对系统的性能分别产生不同的影响，其具体作用如下所示: (1) 比例作用 PID 控制器的稳定性、超调量、响应速度等动态指标主要取决于比例系数的大小,由小到大变化时，系统的响应速度加快;系统的超调量由没有到有，由小变大;对于系统的稳定性来说，总体的趋势是由强到弱。为了兼顾系统的稳定性和动态性能，应取合适的比例系数。 (2)积分作用 积分调节与系统的稳态精度密切相关，加入积分能消除系统的稳态误差，提高系统的跟踪精度，但过大的积分作用会造成系统的超调。同时积分的引入会给系统带来相角滞后，从而产生超调甚至，引起积分的饱和作用，不利于系统的响应品质。 (3)微分作用 微分调节 的主要作用是克服大惯性时间常数的影响，引入微分相当子给系统引入一个动态阻尼，增大T,能够减小系统的超调量，但系统的调节时间会因此而变大。在复杂的实际环境中，山于环境噪声的污染，微分往往会放大系统的噪声，使得系统对抗干扰能力减弱。 从上述的分析可以看到，在PID参数的整定过程中，往往会遇到系统的稳定性和系统的稳态、动态性能之间的矛盾，最后只能在三者之间取一个折衷，很难满足高精度、高性能的要求。 3.3 PID控制器参数的常用整定方法(2)临界比例度法该方法适用于己知对象传函的场合。首先将调节系统中调节器置成比例状态，然后把比例度 (即的倒数)由大逐渐变小，直至出现等幅振荡,此时比例度称临界比例度，相应的振荡周期称临界振荡周期，PID参数整定的经验公式如表3.2所示。采用临界比例度法时，系统需得到临界振荡的条件是系统必须是3阶或3阶以上的。 表3-2 临界比例度法PID参数整定表 3.3.2 衰减曲线整定法 该方法是根据衰减频率特性来整定PID控制器参数的。先将闭环系统中的调节器置于纯比例作用，从大到小逐渐调节比例度，加扰动做调节系统的实验直至出现4：1的衰减振荡，此时的比例度记为，振荡周期记为，其中为到的时间(如图3-1所示)，上升时间记为。具体得参数整定规则如表3-3所 图3-1 衰减响应曲线 表3-3衰减曲线法PID参数整定表3无人机纵向系统的设计与仿真 3.1飞行控制系统结构分析从硬件上来看，无人机的飞控系统是由飞控计算机、测定装置及伺服装置三部分组成的。飞控计算机是整个无人机机载飞控系统的核心设备，它的主要功能是根据输入的传感器信息、存储的相关状态和数据以及无线电测控终端发过来的上行遥控指令与数据，经判断、运算和处理之后，输出指令给伺服执行机构。 测定装置则主要负责测量无人机相关的状态信息，一般无人机的测量装置包括三轴向角速度陀螺、垂直陀螺、磁航向传感器、气压高度和高度差传感器、真实空速传感器、攻角和偏航角传感器、发动机转速传感器等。伺服系统是以舵机为执行元件的随动系统，它是影响飞控系统带宽的主要环节。3.2飞控系统设计的基本思路一般来说，无人机的飞控系统通常包括俯仰、航向和横滚三个控制通道，每个通道都由一个控制面来控制。由于在横滚和航向通道之间常常存在着一定的交联，这就要求我们在设计飞控系统时一般需要考虑各通道间的独立性和关联性。为了便于飞控系统的设计，我们根据无人机沿纵向平面的对称性，通常可以将飞行控制在一定条件下分为相对独立的纵向控制通道和横侧向控制通道。其中，纵向控制通道可以稳定与控制无人机的俯仰角、高度、速度等;横侧向控制通道可以稳定与控制无人机的航向角、滚转角和偏航距离等。 作为整个飞控系统的核心，飞行控制律选取和设计的好坏往往会直接影响到整个飞控系统的性能。考虑到控制角运动是控制轨迹运动的基础，我们在具体设计飞行控制律时也应该先从控制角运动入手，首先保证角运动控制回路的性能，然后在此基础上进行轨迹运动控制回路的设计。针对纵向系统，首先研究无人机俯仰姿态控制律的设计，然后再研究其高度保持控制律的设计问题。3.2俯仰姿态保持控制律的设计与仿真3.2.1俯仰角控制率的设计（1）控制结构 整个俯仰角控制系统的原理结构如图所示。从图中我们可以看到，整个控制系统是由外回路（俯仰角反馈回路）和内回路（俯仰角速率反馈回路）构成的。其中内回路中的俯仰角速率信号由俯仰角速率陀螺提供；外回路中的俯仰角信号由垂直陀螺提供。内回路中的俯仰角速率反馈的引入相当于改变了无人机的纵向阻尼导数，增加了特德纵向阻尼，从而使其短周期模态的阻尼特性得到了改善；外回路则构成了俯仰角稳定回路，可以改善无人机长周期模态的阻尼特性。 通常，我们还在需要加入俯仰速率先付以限制过载；在俯仰角指令入口处，要加上俯仰角限幅；如引入俯仰角加速度的话，还可以达到提高系统稳定性的目的。 图4-1 俯仰角控制系统原理结构框图 图中，在阻尼回路中还包括了一个洗出网络，如果没有这个洗出网络，当操纵飞机做稳态拉齐的机动飞行时，阻尼器输出的稳态就会成为阻碍因素，而使这种机动飞机难以完成。洗出网络的作用就是在飞机稳态拉起时或等高盘旋时（因此存在一个稳态的分量），阻尼器信号除掉。 这样，整个无人机俯仰角控制系统控制律的结构就如图.42所示。图中，为给定的指令信号，为垂直陀螺所测得的俯仰角信号，为俯仰角速率陀螺所测得的俯仰角速率信号信。因此，其控制律可以表示成: (4-2)当我们采用常规PID,控制结构时 (4-3) 4-2 控制角控制系统控制律结构图 在实际工程中，微分环节通常用一个高通滤波器来实现，我们通过选择适当的值，就可以获得相应的相位超前信号。从频率特性来看，高通网络是一个阻低频通高频的网络，同时它也是一个能提供相位超前的网络，因此，我们就可以把高通滤波器看成是一个微分网络。其中的值越大，相位超前也就越大，我们所获得的信号也就越近似于微分信号。我们在后面的无人机纵向飞行控制律的仿真中，一律取。 另外，积分环节也可以根据其定义在软件中计算实现，其中，可在软件中根据CPU的计算频率得到。由于积分是一个连续累加的过程，所以信号的积分值可能会达到一个很大的值，这会给系统带来意想不到的结果。由于执行机构受限，当积分值大到一定程度，使执行机构达到最大位置后，执行机构就不再变化了，而是一直停留在当前的位置，即使系统输出一直在变化，这样反馈通道就被破坏了。另一方面，当被积信号开始减小