南通市2021届高三第一次调研测试数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合，ABCD【答案】C2已知是关于的方程的根，则实数ABC2D4【答案】B3哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A11B13C15D17【答案】C4医学家们为了揭示药物在人体呢吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量（单位：）与给药时间（单位：）近似满足锤子数学函数关系式，其中分别称为给药速率和药物消除速率（单位：）.经测试发现，当时，则该药物的消除速率的值约为ABCD【答案】A5的二项展开式中，奇数项的系数和为ABCD【答案】C6函数的图象大致为【答案】D7已知点是所在平面内一点，有下列四个等式：甲：；乙：；丙：；丁：.如果只有一个等式不成立，则该等式为A甲B乙C丙D丁【答案】B【解析】若甲成立，则是锤子数学的重心；若乙成立，则；若丙成立，则是外心；若丁成立，则是垂心.甲丙丁至少有两个成立，不论哪两个成立，都可以得到是中心.是正三角形，另外一个也成立.只有乙不成立.故选：B.8已知曲线在，两点处的切线分别与曲线相切于，则的值为A1B2CD【答案】B【解析】依题意有，且得，记，则所以可知，得则，故选B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9已知是两条不重合的直线，是两个不重合锤子数学的平面，则A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BC10已知函数，则A的最小正周期为B将的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到的图象C在上单调递增D点是图象的一个对称中心【答案】ACD11若函数的值域为，则ABCD【答案】ABD【解析】在，A正确；的锤子数学值域为，B正确；，在，C错误；，D正确；故选：ABD.12冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为A中位数为3，众数为2B均值小于1，中位数为1C均值为3，众数为4D均值为2，标准差为【答案】BD【解析】中位数为3，众数为2，则7天数据为1，2，2，3，4，5，6，不能判定，A错误；中位数为1，7天，可以判定B正确；均值为3，7天数据和为21.若7天数据锤子数学为0，1，2，3，4，4，7，不可判定，C错误；均值为2，标准差为，方差为2，则其中不可能有，可以判定，D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13在正项等比数列中，若，则_.【答案】914已知双曲线的渐近线方程为，写出双曲线的一个标准方程：_.【答案】15“康威圆定理”是英国数学家约翰康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，的三条边长分别为，.延长线段至点，使得，以此类推得到点和，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知，则由生成的康威圆的半径为_.【答案】【解析】过圆心分别作的高，锤子数学垂足分别为则为中点，为内切圆半径.，.【15题拓展】Conway Circle半径其中的半周长，的内切圆半径.16已知在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8.若为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球的交线长为_.【答案】【解析】法一：由残缺美学拿出三角形，则易知，再拿出来：.法二：暴击法，则，则，.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为.若，（为偶数），求的值.【解析】（1）设等差数列首项为，公差等差数列，则，解得：，.（2），数列的前项和：，为偶数，.18（12分）在；这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_，_？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.【解析】选由，.由或或，.，由，故存在，.19 （12分）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：性别科目男生女生合计物理300历史150合计400800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.附：0.0500.0100.0013.84106.63510.828【解析】性别科目男生女生合计物理300250550历史100150250合计400400800（1）故有的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.（2）抽取的男女比例为，故抽取5人中男生2人，女生3人.的所有可能取值为0，1，2，的分布列如下：012.20（12分）如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得平面平面，分别为和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【解析】（1）证明：取中点，连接，又，平面，平面平面，平面平面平面（2）平面平面，平面平面，平面，又如图锤子数学建立空间直角坐标系，设，设平面，平面的法向量分别为，设平面与平面所成角为，所成角为.21（12分）已知函数.（1）若，求实数的取值范围；（2）若函数有两个零点，证明：.【解析】（1）令，令，显然在上，注意到当时，；当时，即锤子数学实数的取值范围为（2）由（1）知在上，上要使有两个零点，则此时，要证，只需证证，即证令令在上，证毕！22（12分）已知点在椭圆上，点在第一象限，为坐标原点，且.（1）若，直线的方程为，求直线的斜率；（2）若是等腰三角形（点按顺时针排列），求的最大值.【解析】（1），方程为，.（2）设直线的方程为，过作轴于点，过作交其延长线于点，在椭圆上，令，只需考虑的情形.1