课 程 设 计 说 明 书题目：用双线性变换法设计IIR滤波器 课程设计（论文）任务书院（系）：电气工程学院 基层教学单位：自动化仪表系 学 号070103020156学生姓名古悦专业（班级）07级仪表2班设计题目用双线性法设计IIR滤波器设计技术参数通带截止频率wp，阻带截止频率ws，通带衰减rp，阻带衰减rs，采样频率fs设计要求基于MATLAB软件，利用双线性变换法设计IIR低通、高通、带通、带阻数字滤波器，并分析滤波器单位脉冲响应，频率响应特性。设计报告中要求画出所设计的滤波器网络结构图。工作量 设计IIR滤波器及其网络结构图，工作量适中。工作计划前三天，去图书馆查阅资料，熟悉Matlab程序；中间四天，明确设计思路，设计程序后三天，调试、修改程序，完成任务书参考资料1薛年喜 MATLAB在数字信号处理中的应用（第二版）清华大学出版社,20082谢平 王娜 林洪彬 信号处理原理及应用 机械工业出版社,2009指导教师签字基层教学单位主任签字说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。年 月 日 课程设计评审意见表指导教师评语：成绩： 指导教师： 年 月 日答辩小组评语：成绩： 组长： 年 月 日课程设计总成绩：答辩小组成员签字：年 月 日 目录一、摘要3二、设计思想32.1 IIR数字滤波器设计思路32.2设计IIR数字滤波器的两种方法42.3双线性变换法的基本原理52.4用双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤6三、程序源代码和运行结果63.1低通滤波器63.2高通滤波器93.3带通滤波器123.4带阻滤波器14四、网络结构图17五、心得体会19参考文献19一、摘要 数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。数字滤波器按单位脉冲响应的性质可分为无限长单位脉冲响应滤波器IIR和有限长单位脉冲响应滤波器(FIR)两种。本文介绍IIR数字滤波器的设计。二、设计思想2.1 IIR数字滤波器设计思路IIR 数字滤波器可用一个n阶差分方程表示 y(n)=brx(n-r)+aky(n-k)或用它的Z域系统函数:对照模拟滤波器的传递函数: 不难看出,数字滤波器与模拟滤波器的设计思路相仿,其设计实质也是寻找一组系数b,a,去逼近所要求的频率响应,使其在性能上满足预定的技术要求;不同的是模拟滤波器的设计是在S平面上用数学逼近法去寻找近似的所需特性H(S),而数字滤波器则是在Z平面寻找合适的H(z)。IIR数字滤波器的单位响应是无限长的,而模拟滤波器一般都具有无限长的单位脉冲响应,因此与模拟滤波器相匹配。由于模拟滤波器的设计在理论上已十分成熟,因此数字滤波器设计的关键是将H(S)H(Z),即,利用复值映射将模拟滤波器离散化。已经证明,冲击响应不变法和双线性变换法能较好地担当此任,则在此基础上,数字滤波器的设计就可首先归结为模拟滤波器的设计了。数字滤波器的设计步骤如下图所示。数字滤波器技术指标指标参数变换数字滤波器模拟滤波器离散化模拟滤波器技术指标相应模拟滤波器设计 数字滤波器设计步骤2.2设计IIR数字滤波器的两种方法 IIR数字滤波器的的设计就是在给定了滤波器的技术指标后，确定滤波器的阶数n和系数ai，bi。在满足技术指标的条件下，滤波器的结束应尽可能低，因为滤波器的阶数越低，实现滤波器的成本就越低。在设计IIR滤波器时，常用的方法是利用模拟滤波器来设计数字滤波器。广泛采取这种方法的因素有：1，模拟滤波器设计技术已非常成熟；2，可得闭合形式的解；3，关于模拟滤波器设计有完整的设计公式和图表可以利用很查阅。为实现从模拟滤波器到数字滤波器的转换，需要从系统的描述方法来考虑转换问题，无论是模拟滤波器还是数字滤波器，描述系统的基本方法都有四种，如表所示，且同一滤波器的各种描述形式之间可以相互转换。模拟滤波器数字滤波器模拟滤波器数字滤波器单位脉冲响应ha(t)单位采样响应h(n)系统函数Ha(s)系统函数H(z)频率响应Ha（j）频率响应H（ej）微分方程差分方程滤波器描述系统的方法因此，IIR滤波器的设计方法是首先将数字滤波器的技术指标转化为对应模拟滤波器的技术指标，然后设计满足技术指标的模拟滤波器Ha(s)，然后将设计出的模拟滤波器Ha(s)转换为满足技术指标的数字滤波器H(z)。将Ha(s)转换成H(z)的最终目的，是希望数字滤波器的频率响应H（ej）尽量接近模拟滤波器Ha（j）。将系统函数H(z)从s平面转换到z平面的方法有很多种，但工程上常用的有两种：一种是使数字滤波器的h(n)近似于模拟滤波器的ha(t),可导出脉冲响应不变法；另一种使数字滤波器的差分方程近似于模拟滤波器的微分方程，由此可导出双线性变换法。2.3双线性变换法的基本原理脉冲响应不变法使得数字滤波器在时域上能够较好的模仿模拟滤波器，但是由于从平面到平面的映射具有多值性，使得设计出来的数字滤波器不可避免的出现频谱混迭现象。为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混跌效应的缺点，我们使用一种新的变换双线性变换。双线性变换法可认为是基于对微分方程的积分，利用对积分的数值逼近的道德。仿真滤波器的传递函数为将展开为部份分式的形式，并假设无重复几点，则那么，对于上述函数所表达的数字信号处理系统来讲，其仿真输入和模拟输出有如下关系利用差分方程来代替导数，即同时令这样，便可将上面的微分方程写为对应的差分方程形式两边分别取变换，可得这样，通过上述过程，就可得到双线性变换中的基本关系，如下所示所谓的双线性变换，仅是指变换公式中与的关系无论是分子部份还是分母部份都是线性的。2.4用双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤MATLAB中设计IIR数字滤波器的具体步骤如下：(1) 把给出的数字滤波器的性能指标转换为模拟低通滤波器的性能指标；(2) 根据转换后的性能指标，通过滤波器结束选择函数，来确定滤波器的最小阶数n和固有频率wn；(3) 由最小阶数n得到低通滤波器原型；(4) 由固有频率wn把模拟低通滤波器转换为模拟低通、高通、带通或带阻滤波器；(5) 运用双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器。三、程序源代码和运行结果3.1低通滤波器Clear%通带截止频率wp=100*2*pi;%阻带截止频率ws=150*2*pi;%通带衰减rp=0.5;%阻带衰减rs=30;%采样频率fs=2000;%计算阶数，与截止频率n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s)%建立切比雪夫2型数字滤波器z,p,k=cheb2ap(n,rs);%零极点转换到空间状态表达式a,b,c,d=zp2ss(z,p,k);%低通转换到高通at1,bt1,ct1,dt1=lp2lp(a,b,c,d,wc);%双线性变换at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs);%空间状态表达式转换到传递函数num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2)%绘制幅频、相频图（频率响应特性图）figure(1);freqz(num,den,128,fs);grid on;%绘制脉冲响应特性图figure(2);impz(num,den,128,fs);%滤波检验figure(3);t=0:0.0005:0.2;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*200*t);y=filter(num,den,x);plot(t,x,:,t,y,-);grid;legend(X Signal,Y Signal);运行结果：n =6wc =879.2559num = 0.0287 -0.1085 0.2038 -0.2447 0.2038 -0.1085 0.0287den = 1.0000 -4.4499 8.4145 -8.6176 5.0302 -1.5841 0.2103频率响应脉冲响应滤波检验3.2高通滤波器Clear%通带截止频率wp=100*2*pi;%阻带截止频率ws=150*2*pi;%通带衰减rp=0.5;%阻带衰减rs=30;%采样频率fs=2000;%计算阶数，与截止频率n,wc=cheb2ord(wp,ws,rp,rs,s);%建立切比雪夫2型数字滤波器z,p,k=cheb2ap(n,rs);%零极点转换到空间状态表达式a,b,c,d=zp2ss(z,p,k);%低通转换到高通at1,bt1,ct1,dt1=lp2hp(a,b,c,d,wc)%双线性变换at2,bt2,ct2,dt2=bilinear(at1,bt1,ct1,dt1,fs)%空间状态表达式转换到传递函数num,den=ss2tf(at2,bt2,ct2,dt2);%绘制幅频、相频图（频率响应特性图）figure(1);freqz(num,den,128,fs);grid on;%绘制脉冲响应特性图figure(2);impz(num,den,128,fs);grid;%滤波检验figure(3);t=0:0.0005:0.1;x=sin(2*pi*50