2015年温州中学自主招生素质测试数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置1关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ）A必经过点（1，1）B两个分支分布在第二、四象限C两个分支关于x轴成轴对称D两个分支关于原点成中心对称图12 已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）A B C D3 已知平面上的个点，任三个点都能构成直角三角形，则的最大值为（ ）A B C D4如图1，、为半径为的的弦，为上动点，、分别为、的中点，则的值可表示为（ ）A B C D5已知甲盒中有若干个白球，乙盒中有若干个白球和黑球，白球和黑球的数量均多于个从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中放入个球后，从甲盒中取个球是白球的概率记为，则（ ）A，B， C， D以上均有可能6已知个实数满足，且对任意的正整数，均存在，使得 ； ； 当时，的可能值共有个图2则上述论断正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4 7二元方程的正整数解的组数为（ ）A B C3 D48如图2，点分别是三边上点，且满足，、两两分别交于、，若的面积为，则的面积为（ ） A B C D二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分请将答案填在答题卷的相应位置9设的小数部分为，的小数部分为，则的值为 10若实数满足，则的最大值为 （其中表示中的较大者） 11名儿童分坐两排，每排人要求面对面而坐，但其中两个儿童不可相邻 ，也不可面对面，有 种排法12如图3，已知正方体的棱长为，为棱的中点，点为平面上的动点，则的最小值为 13若正实数满足，则的值为 14如图4是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是的数字，可使其成为正确的算式，那么所得的乘积是 图4图315 对于任意的，有，则对于任意的，的最大值为 2015年温州中学自主招生素质测试数学试题答题卷一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分9 ； 10 ； 11 ；12 ； 13 ； 14 ；15 ；三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16在函数中，求自变量的取值范围图517 如图5，为抛物线上不同的四点，线段与轴的交点分别为，且，（1）若的坐标为，求点的坐标（用表示）；（2）若的面积是面积的，求直线的解析式.图618如图6，在中，的平分线交于点，点、分别为的内切圆在边、上的切点，点、分别为与的内心求证：19试求出所有的正整数，使得对一切奇数，数均可被整除图720如图7，在中，为边上的高，于点，于点，与交于点，与的外心分别为和，求证：温州中学2014年自主招生综合素质测试笔试数学试题答题卷二、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案DABCACAC二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分9 ； 10 ； 11 384 ；12 ； 13 2014 ； 14 30096 ；15 三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16在函数中，求自变量的取值范围解：17 如图，为抛物线上不同的四点，线段与轴的交点分别为，且，（1）若的坐标为，求点的坐标（用表示）；（2）若的面积是面积的，求直线的解析式.解：（1），可设直线的解析式为，由点在抛物线上得，由点在直线上得将代入整理得：即，从而得故所求点的坐标为（2）（解法一）， 由（1）同理可得点，的面积是面积的，解得或（舍去）所求直线的解析式为，（解法二）过点作轴的平行线分别交于，由得，又点为的中点，即解得从而所求直线的解析式为18如图，在中，的平分线交于点，点、分别为的内切圆在边、上的切点，点、分别为与与的内心求证：解：设的内切圆在边上的切点为，在边上的射影分别为连接， 由内心性质知所以 易知，从而所以，从而从而易得，又，所以19试求出所有的正整数，使得对一切奇数，数均可被整除解：故有，故均满足条件；下证，对于其他的正整数均不满足条件。若，但是有，则，故有，即。显然，不能整除5，故只有。考虑，。故只有。20如图，在中，为边上的高，于点，于点，与交于点，与的外心分别为和，求证：证明：延长交的外接圆于，连接易知四点共圆所以故四点共圆同理，四点共圆所以为圆的公共弦故又所以.